同济高数 第9章 第9-1-8题
📝 题目
8．函数 $\displaystyle z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ 在何处是间断的？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 函数 $$ z = \frac{y^{2}+2x}{y^{2}-2x} $$ 是二元有理函数，其间断点出现在分母为零的点，即满足 $$ y^{2} - 2x = 0 $$ 的所有点 $(x, y)$。
因此，该函数在抛物线 $$ y^{2} = 2x $$ 上的每一点处间断（因为分母为零，函数无定义）。
所以间断点集合为 $$ \{(x, y) \mid y^{2} = 2x\}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别函数类型
函数 z = (y^2+2x)/(y^2-2x) 是二元有理函数，分母为 y^2-2x。
提示：有理函数的间断点出现在分母为零的点。
步骤 2/3
目标：令分母为零
令分母 y^2-2x=0，得到方程 y^2=2x。
公式：y^2-2x=0
步骤 3/3
目标：描述间断点集合
所有满足 y^2=2x 的点 (x,y) 都是函数的间断点，因为函数在这些点无定义。
提示：间断点集合是一条抛物线。
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