同济高数 第9章 第9-10-1题

教材习题

📝 题目

1．某种合金的含铅量百分比（\％）为 $p$ ，其熔解温度（ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）为 $\theta$ ，由实验测得 $p$ 与 $\theta$ 的数据如下表：

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c} \hline$p / \%$ & 36.9 & 46.7 & 63.7 & 77.8 & 84.0 & 87.5 \\ \hline$\theta /{ }^{\circ} \mathrm{C}$ & 181 & 197 & 235 & 270 & 283 & 292 \\ \hline \end{tabular}

试用最小二乘法建立 $\theta$ 与 $p$ 之间的经验公式 $\theta=a p+b$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

我们使用最小二乘法拟合直线 $\theta = a p + b$。已知数据点 $(p_i, \theta_i)$ 如下：

$$ \begin{array}{c|c} p_i & \theta_i \\ \hline 36.9 & 181 \\ 46.7 & 197 \\ 63.7 & 235 \\ 77.8 & 270 \\ 84.0 & 283 \\ 87.5 & 292 \end{array} $$

最小二乘法的目标是使误差平方和最小，即求

$$ S(a,b) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (\theta_i - a p_i - b)^2 $$

的最小值。由极值条件 $\displaystyle\frac{\partial S}{\partial a}=0$ 和 $\displaystyle\frac{\partial S}{\partial b}=0$ 得到正规方程组：

$$ \begin{cases} \displaystyle b n + a \sum p_i = \sum \theta_i \$$1em] \displaystyle b \sum p_i + a \sum p_i^2 = \sum p_i \theta_i \end{cases} $$

其中 $n=6$。先计算各求和：

$$ \begin{aligned} \sum p_i &= 36.9 + 46.7 + 63.7 + 77.8 + 84.0 + 87.5 = 396.6 \\ \sum \theta_i &= 181 + 197 + 235 + 270 + 283 + 292 = 1458 \\ \sum p_i^2 &= 36.9^2 + 46.7^2 + 63.7^2 + 77.8^2 + 84.0^2 + 87.5^2 \\ &= 1361.61 + 2180.89 + 4057.69 + 6052.84 + 7056 + 7656.25 = 28365.28 \\ \sum p_i \theta_i &= 36.9\times181 + 46.7\times197 + 63.7\times235 + 77.8\times270 + 84.0\times283 + 87.5\times292 \\ &= 6678.9 + 9199.9 + 14969.5 + 21006 + 23772 + 25550 = 101176.3 \end{aligned} $$

代入正规方程组：

$$ \begin{cases} 6b + 396.6a = 1458 \\ 396.6b + 28365.28a = 101176.3 \end{cases} $$

由第一式得：

$$ b = \frac{1458 - 396.6a}{6} $$

代入第二式：

$$ 396.6 \cdot \frac{1458 - 396.6a}{6} + 28365.28a = 101176.3 $$

先计算常数项：

$$ \frac{396.6 \times 1458}{6} = \frac{578242.8}{6} = 96373.8 $$

所以方程变为：

$$ 96373.8 - \frac{396.6^2}{6}a + 28365.28a = 101176.3 $$

其中

$$ \frac{396.6^2}{6} = \frac{157291.56}{6} = 26215.26 $$

于是：

$$ 96373.8 + (28365.28 - 26215.26)a = 101176.3 $$ $$ 96373.8 + 2150.02a = 101176.3 $$ $$ 2150.02a = 4802.5 $$ $$ a \approx \frac{4802.5}{2150.02} \approx 2.2337 $$

再求 $b$：

$$ b = \frac{1458 - 396.6 \times 2.2337}{6} = \frac{1458 - 885.8}{6} \approx \frac{572.2}{6} \approx 95.37 $$

因此经验公式为：

$$ \boxed{\theta \approx 2.23p + 95.4} $$

（保留三位有效数字）

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：列出数据点并计算所需求和
已知数据点 (p_i, θ_i) 为 (36.9,181), (46.7,197), (63.7,235), (77.8,270), (84.0,283), (87.5,292)。计算 ∑p_i = 396.6, ∑θ_i = 1458, ∑p_i^2 = 28365.28, ∑p_iθ_i = 101176.3。
公式：∑p_i, ∑θ_i, ∑p_i^2, ∑p_iθ_i
提示：注意数据个数 n=6，计算时仔细避免出错。
步骤 2/4
目标：建立正规方程组
由最小二乘法，正规方程组为： 6b + 396.6a = 1458 396.6b + 28365.28a = 101176.3
公式：\begin{cases} b n + a \sum p_i = \sum \theta_i \\ b \sum p_i + a \sum p_i^2 = \sum p_i \theta_i \end{cases}
提示：将求和结果代入方程组。
步骤 3/4
目标：求解正规方程组
由第一式得 b = (1458 - 396.6a)/6，代入第二式解得 a ≈ 2.2337，再代入得 b ≈ 95.37。
公式：a = \frac{n\sum p_i\theta_i - \sum p_i \sum \theta_i}{n\sum p_i^2 - (\sum p_i)^2}, \quad b = \frac{\sum \theta_i - a\sum p_i}{n}
提示：也可直接使用公式计算 a 和 b。
步骤 4/4
目标：写出经验公式
经验公式为 θ ≈ 2.23p + 95.4（保留三位有效数字）。
公式：θ = a p + b
提示：最终结果需根据题目要求保留有效数字。

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