同济高数 第9章 第9-2-6题
📝 题目
6．求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4} \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线对于 $x$ 轴的倾角．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线由方程组 $$ \begin{cases} z = \dfrac{x^{2}+y^{2}}{4},\$$6pt] y = 4 \end{cases} $$ 给出。将 $y = 4$ 代入第一式，得 $$ z = \frac{x^{2}+16}{4} = \frac{x^{2}}{4} + 4. $$ 因此曲线可表示为参数形式：以 $x$ 为参数， $$ \begin{cases} x = x,\\ y = 4,\\ z = \displaystyle\frac{x^{2}}{4} + 4. \end{cases} $$ 求导得切向量： $$ \left(1,\ 0,\ \frac{x}{2}\right). $$ 在点 $(2,4,5)$ 处，$x = 2$，代入得切向量为 $$ \left(1,\ 0,\ 1\right). $$ 切线对于 $x$ 轴的倾角 $\alpha$ 满足 $$ \tan\alpha = \frac{\text{切向量在}z\text{方向的分量}}{\text{切向量在}x\text{方向的分量}} = \frac{1}{1} = 1, $$ 故 $$ \alpha = \frac{\pi}{4}. $$
**难度评级**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将曲线方程化为参数形式
将 y=4 代入 z=(x^2+y^2)/4，得 z=(x^2+16)/4=x^2/4+4。因此曲线以 x 为参数表示为：x=x, y=4, z=x^2/4+4。
公式：z = x^2/4 + 4
提示：注意 y 是常数，因此曲线在平面 y=4 上。
步骤 2/4
目标：求切向量
对参数方程求导：dx/dx=1, dy/dx=0, dz/dx=x/2，所以切向量为 (1, 0, x/2)。
公式：切向量 = (1, 0, x/2)
提示：参数为 x，导数即对 x 求导。
步骤 3/4
目标：代入点坐标求具体切向量
在点 (2,4,5) 处，x=2，代入得切向量为 (1, 0, 1)。
提示：验证点是否在曲线上：x=2, y=4 时 z=2^2/4+4=1+4=5，正确。
步骤 4/4
目标：计算切线对 x 轴的倾角
切线对 x 轴的倾角 α 满足 tanα = (切向量在 z 方向的分量)/(切向量在 x 方向的分量) = 1/1 = 1，所以 α = π/4。
公式：tanα = dz/dx
提示：倾角是切线与 x 轴正向的夹角，范围 [0,π)。
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