同济高数 第9章 第9-3-4题

教材习题

📝 题目

4．求函数 $z=\mathrm{e}^{x y}$ 当 $x=1, y=1, \Delta x=0.15, \Delta y=0.1$ 时的全微分．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 函数为 $$ z = e^{xy} $$ 先求偏导数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{xy} $$ 全微分公式为 $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y $$ 代入给定点 $x=1, y=1$ 得 $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 1 \cdot e^{1} = e,\quad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = 1 \cdot e^{1} = e $$ 因此全微分为 $$ \mathrm{d}z = e \cdot \Delta x + e \cdot \Delta y $$ 代入 $\Delta x = 0.15,\ \Delta y = 0.1$： $$ \mathrm{d}z = e (0.15 + 0.1) = 0.25 e $$ 若取 $e \approx 2.71828$，则数值近似为 $$ \mathrm{d}z \approx 0.25 \times 2.71828 = 0.67957 $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求偏导数
函数 z = e^(xy)，对 x 求偏导时视 y 为常数，得 ∂z/∂x = y e^(xy)；对 y 求偏导时视 x 为常数，得 ∂z/∂y = x e^(xy)。
公式：∂z/∂x = y e^(xy), ∂z/∂y = x e^(xy)
提示：注意指数函数的求导法则：d/dx e^(u) = e^(u) du/dx。
步骤 2/4
目标：计算在点 (1,1) 处的偏导数值
代入 x=1, y=1，得 ∂z/∂x|_{(1,1)} = 1 * e^(1) = e，∂z/∂y|_{(1,1)} = 1 * e^(1) = e。
公式：∂z/∂x(1,1)=e, ∂z/∂y(1,1)=e
提示：e^1 = e，无需近似。
步骤 3/4
目标：写出全微分公式并代入
全微分 dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy，其中 dx=Δx=0.15, dy=Δy=0.1。代入得 dz = e * 0.15 + e * 0.1 = 0.25e。
公式：dz = e * Δx + e * Δy = 0.25e
提示：全微分是线性近似，Δx 和 Δy 是自变量的增量。
步骤 4/4
目标：数值近似（可选）
取 e≈2.71828，则 dz ≈ 0.25 * 2.71828 = 0.67957。
公式：dz ≈ 0.67957
提示：若题目要求精确值，保留 e 即可。

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