同济高数 第9章 第9-3-5题
📝 题目
5．考虑二元函数 $f(x, y)$ 的下面四条性质： （1）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续； （2）$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续； （3）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微分； （4）$f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在．
若用＂$P \Rightarrow Q$＂表示可由性质 $P$ 推出性质 $Q$ ，则下列四个选项中正确的是（ ． （A）（2）⇒（3）$\Rightarrow(1)$ （B）$(3) \Rightarrow(2) \Rightarrow(1)$ （C）（3）⇒（4）$\Rightarrow(1)$ （D）$(3) \Rightarrow(1) \Rightarrow(4)$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分析二元函数 $ f(x, y) $ 的四个性质之间的逻辑关系：
- (1) 连续 - (2) 偏导数连续 - (3) 可微分 - (4) 偏导数存在
已知结论（多元函数微分学基本定理）：
1. 若偏导数连续（2），则函数必可微分（3），即 $(2) \Rightarrow (3)$。 2. 若函数可微分（3），则函数必连续（1），且偏导数存在（4），即 $(3) \Rightarrow (1)$ 且 $(3) \Rightarrow (4)$。 3. 反之，连续（1）不能推出可微分（3），也不能推出偏导数存在（4）；偏导数存在（4）不能推出连续（1），也不能推出可微分（3）。
因此正确的推导链是： $$ (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1) $$ 并且 $(3) \Rightarrow (4)$ 也成立，但题目中选项只要求看给出的组合。
检查四个选项： - (A) $(2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)$ 正确。 - (B) $(3) \Rightarrow (2)$ 错误，可微分不能保证偏导数连续。 - (C) $(3) \Rightarrow (4)$ 正确，但 $(4) \Rightarrow (1)$ 错误。 - (D) $(3) \Rightarrow (1)$ 正确，但 $(1) \Rightarrow (4)$ 错误。
所以正确选项为 (A)。
难度：★★☆☆☆