同济高数 第9章 第9-3-*11题
📝 题目
＊11．测得一块三角形土地的两边边长分别为 $(63 \pm 0.1) \mathrm{m}$ 和 $(78 \pm 0.1) \mathrm{m}$ ，这两边的夹角为 $60^{\circ} \pm 1^{\circ}$ ．试求这块三角形土地面积的近似值，并求其绝对误差和相对误差。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知三角形面积公式为 $$ S = \frac12 ab\sin\theta $$ 其中 $a = 63\,\mathrm{m}$，$b = 78\,\mathrm{m}$，$\theta = 60^\circ$。 先计算面积的近似值： $$ S \approx \frac12 \times 63 \times 78 \times \sin 60^\circ = \frac12 \times 63 \times 78 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{63 \times 78 \times \sqrt{3}}{4} $$ 计算数值： $63 \times 78 = 4914$， $\sqrt{3} \approx 1.73205$， 所以 $$ S \approx \frac{4914 \times 1.73205}{4} = \frac{8512.0}{4} \ (\text{近似}) = 2128.0\ \mathrm{m}^2 $$ 更精确计算： $4914 \times 1.73205 = 4914 \times 1.73205 = 4914\times 1.7 = 8353.8$，加上 $4914\times 0.03205 \approx 157.5$，总和约8511.3，除以4得 $2127.825$，取 $S \approx 2128\ \mathrm{m}^2$。
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**误差估计** 设 $$ S = \frac12 a b \sin\theta $$ 取全微分： $$ dS = \frac12 b\sin\theta\, da + \frac12 a\sin\theta\, db + \frac12 a b \cos\theta\, d\theta $$ 注意 $d\theta$ 需用弧度。 已知： $\Delta a = 0.1,\ \Delta b = 0.1,\ \Delta\theta = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.0174533$ 弧度。 代入数值： $$ \frac{\partial S}{\partial a} = \frac12 b\sin\theta = \frac12 \times 78 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{78\sqrt{3}}{4} \approx \frac{78\times 1.73205}{4} = \frac{135.0999}{4} \approx 33.775 $$ $$ \frac{\partial S}{\partial b} = \frac12 a\sin\theta = \frac12 \times 63 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{63\sqrt{3}}{4} \approx \frac{109.119}{4} \approx 27.280 $$ $$ \frac{\partial S}{\partial \theta} = \frac12 a b \cos\theta = \frac12 \times 63 \times 78 \times \frac12 = \frac{63\times 78}{4} = \frac{4914}{4} = 1228.5 $$ 于是绝对误差为 $$ \Delta S \approx \left| \frac{\partial S}{\partial a} \right| \Delta a + \left| \frac{\partial S}{\partial b} \right| \Delta b + \left| \frac{\partial S}{\partial \theta} \right| \Delta\theta $$ $$ \Delta S \approx 33.775 \times 0.1 + 27.280 \times 0.1 + 1228.5 \times 0.0174533 $$ 计算各项： $33.775 \times 0.1 = 3.3775$ $27.280 \times 0.1 = 2.7280$ $1228.5 \times 0.0174533 \approx 1228.5 \times 0.01745 \approx 21.44$（精确：1228.5 × 0.0174533 = 21.441） 总和： $$ \Delta S \approx 3.3775 + 2.7280 + 21.441 = 27.5465 \ \mathrm{m}^2 $$ 取 $\Delta S \approx 27.5\ \mathrm{m}^2$。
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**相对误差** $$ \frac{\Delta S}{S} \approx \frac{27.5}{2128} \approx 0.01292 \approx 1.29\% $$
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**最终答案** 面积近似值：$S \approx 2128\ \mathrm{m}^2$ 绝对误差：$\Delta S \approx 27.5\ \mathrm{m}^2$ 相对误差：约 $1.29\%$
难度：★★☆☆☆