同济高数 第9章 第9-3-*12题
📝 题目
＊12．利用全微分证明：两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设两个近似数分别为 $x$ 和 $y$，其真值分别为 $x_0$ 和 $y_0$，则绝对误差定义为 $$ \Delta x = x - x_0,\quad \Delta y = y - y_0. $$ 考虑函数 $u = x + y$，其全微分为 $$ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy = 1 \cdot dx + 1 \cdot dy = dx + dy. $$ 用误差近似代替微分，即取 $$ \Delta u \approx du = dx + dy, $$ 而 $dx$ 与 $dy$ 分别近似为 $\Delta x$ 与 $\Delta y$，于是 $$ \Delta u \approx \Delta x + \Delta y. $$ 由于绝对误差通常考虑绝对值，因此和的绝对误差近似等于各自绝对误差之和，即 $$ |\Delta u| \approx |\Delta x| + |\Delta y|. $$ 这就完成了证明。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义近似数和绝对误差
设两个近似数分别为 x 和 y，其真值分别为 x0 和 y0，则绝对误差定义为 Δx = x - x0，Δy = y - y0。
公式：Δx = x - x0, Δy = y - y0
提示：注意绝对误差是近似值减去真值。
步骤 2/4
目标：构造和函数并求全微分
考虑函数 u = x + y，求全微分：du = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy = 1·dx + 1·dy = dx + dy。
公式：du = dx + dy
提示：全微分是偏导数的线性组合。
步骤 3/4
目标：用误差近似微分
用误差近似代替微分，即取 Δu ≈ du = dx + dy，而 dx 与 dy 分别近似为 Δx 与 Δy，于是 Δu ≈ Δx + Δy。
公式：Δu ≈ Δx + Δy
提示：当误差很小时，微分近似成立。
步骤 4/4
目标：取绝对值得到绝对误差关系
由于绝对误差通常考虑绝对值，因此和的绝对误差近似等于各自绝对误差之和：|Δu| ≈ |Δx| + |Δy|。
公式：|Δu| ≈ |Δx| + |Δy|
提示：注意绝对值不等式的方向，这里近似相等。
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