同济高数 第9章 第9-3-*6题
📝 题目
＊6．计算 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求计算 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值。 考虑函数 $$ f(x,y) = \sqrt{x^{3}+y^{3}} $$ 取 $x_0=1,\ y_0=2$，则 $$ \Delta x = 0.02,\quad \Delta y = -0.03 $$ 先计算偏导数： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+y^{3}}},\quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3y^{2}}{2\sqrt{x^{3}+y^{3}}} $$ 在点 $(1,2)$ 处： $$ f(1,2) = \sqrt{1^{3}+2^{3}} = \sqrt{1+8} = \sqrt{9} = 3 $$ $$ \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,2)} = \frac{3\cdot 1^{2}}{2\cdot 3} = \frac{3}{6} = 0.5 $$ $$ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,2)} = \frac{3\cdot 2^{2}}{2\cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $$ 利用全微分近似公式： $$ f(1.02,1.97) \approx f(1,2) + f_x(1,2)\cdot \Delta x + f_y(1,2)\cdot \Delta y $$ 代入数值： $$ \approx 3 + 0.5 \times 0.02 + 2 \times (-0.03) = 3 + 0.01 - 0.06 = 2.95 $$ 因此，近似值为 $$ \sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}} \approx 2.95 $$
难度：★★☆☆☆