同济高数 第9章 第9-3-*7题
📝 题目
＊7．计算 $1.97^{1.05}$ 的近似值（ $\ln 2=0.693$ ）．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求计算 $1.97^{1.05}$ 的近似值。 考虑函数 $$ f(x,y) = x^y $$ 取 $x_0 = 2$，$y_0 = 1$，则 $$ \Delta x = 1.97 - 2 = -0.03,\quad \Delta y = 1.05 - 1 = 0.05 $$ 利用二元函数的全微分近似公式： $$ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) \approx f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y $$ 先求偏导数： $$ f_x = y x^{y-1},\quad f_y = x^y \ln x $$ 在 $(2,1)$ 处： $$ f(2,1) = 2^1 = 2 $$ $$ f_x(2,1) = 1 \cdot 2^{0} = 1 $$ $$ f_y(2,1) = 2^1 \cdot \ln 2 = 2 \cdot 0.693 = 1.386 $$ 代入近似公式： $$ 1.97^{1.05} \approx 2 + 1 \cdot (-0.03) + 1.386 \cdot 0.05 $$ 先计算第二项： $$ 1.386 \times 0.05 = 0.0693 $$ 因此 $$ 1.97^{1.05} \approx 2 - 0.03 + 0.0693 = 2.0393 $$ 所以近似值为 $2.0393$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造二元函数并选取初始点
考虑函数 f(x,y)=x^y，取 x0=2，y0=1，则 Δx=1.97-2=-0.03，Δy=1.05-1=0.05。
提示：选择接近给定值的整数点以简化计算。
步骤 2/4
目标：计算函数值和偏导数在初始点的值
f(2,1)=2^1=2；f_x=y x^{y-1}，在(2,1)处 f_x=1*2^0=1；f_y=x^y ln x，在(2,1)处 f_y=2^1*ln2=2*0.693=1.386。
公式：f_x = y x^{y-1}, f_y = x^y ln x
提示：注意 ln2=0.693 是已知条件。
步骤 3/4
目标：应用全微分近似公式
f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f_x(x0,y0)Δx+f_y(x0,y0)Δy=2+1*(-0.03)+1.386*0.05。
公式：f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+f_xΔx+f_yΔy
提示：全微分公式用于线性近似。
步骤 4/4
目标：计算近似值
1.386*0.05=0.0693，所以 1.97^{1.05}≈2-0.03+0.0693=2.0393。
提示：注意符号和计算精度。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。