同济高数 第9章 第9-3-*8题

教材习题

📝 题目

＊8．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 边减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

💡 答案解析

[AI解答]

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我们已知矩形边长分别为 $x = 6 \, \mathrm{m}$，$y = 8 \, \mathrm{m}$，对角线长度 $$ d = \sqrt{x^2 + y^2}. $$ 当 $x$ 增加 $5 \, \mathrm{cm} = 0.05 \, \mathrm{m}$，$y$ 减少 $10 \, \mathrm{cm} = -0.10 \, \mathrm{m}$ 时，可以用全微分近似计算对角线的变化量。

先求偏导数： $$ \frac{\partial d}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \frac{\partial d}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. $$

代入 $x=6, y=8$，此时 $$ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. $$ 所以： $$ \frac{\partial d}{\partial x} = \frac{6}{10} = 0.6, \quad \frac{\partial d}{\partial y} = \frac{8}{10} = 0.8. $$

全微分近似： $$ \Delta d \approx \frac{\partial d}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial d}{\partial y} \Delta y = 0.6 \times 0.05 + 0.8 \times (-0.10). $$

计算： $$ 0.6 \times 0.05 = 0.03, \quad 0.8 \times (-0.10) = -0.08, $$ 所以 $$ \Delta d \approx 0.03 - 0.08 = -0.05 \, \mathrm{m}. $$

因此，对角线近似缩短 $5 \, \mathrm{cm}$。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：建立对角线长度与边长的函数关系
矩形边长分别为 x=6m, y=8m，对角线长度 d = √(x² + y²)。
公式：d = √(x² + y²)
提示：注意单位统一，将 cm 转换为 m：5cm=0.05m，10cm=0.10m。
步骤 2/4
目标：计算偏导数
对 d 求偏导：∂d/∂x = x/√(x²+y²)，∂d/∂y = y/√(x²+y²)。代入 x=6, y=8，得 √(36+64)=10，故 ∂d/∂x=0.6，∂d/∂y=0.8。
公式：∂d/∂x = x/√(x²+y²), ∂d/∂y = y/√(x²+y²)
提示：偏导数表示边长变化时对角线变化的敏感程度。
步骤 3/4
目标：应用全微分近似计算变化量
Δd ≈ (∂d/∂x)Δx + (∂d/∂y)Δy = 0.6×0.05 + 0.8×(-0.10) = 0.03 - 0.08 = -0.05m。
公式：Δd ≈ (∂d/∂x)Δx + (∂d/∂y)Δy
提示：Δx=0.05, Δy=-0.10，注意符号。
步骤 4/4
目标：解释结果
对角线近似缩短 0.05m，即 5cm。
提示：负号表示缩短。

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