同济高数 第9章 第9-5-7题

教材习题

📝 题目

7．设 $\Phi(u, v)$ 具有连续偏导数，证明由方程 $\Phi(c x-a z, c y-b z)=0$ 所确定的函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}=c$.

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们设 $$ u = c x - a z,\quad v = c y - b z, $$ 其中 $z = f(x, y)$ 由方程 $$ \Phi(u, v) = 0 $$ 隐式确定，且 $\Phi$ 具有连续偏导数，且 $\frac{\partial \Phi}{\partial u}, \frac{\partial \Phi}{\partial v}$ 不全为零（以保证隐函数存在）。

对方程 $\Phi(u, v) = 0$ 两边关于 $x$ 求偏导，注意 $u, v$ 均依赖于 $x$ 和 $y$：

$$ \frac{\partial \Phi}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial \Phi}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0. $$

而 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = c - a \frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0 - b \frac{\partial z}{\partial x} = -b \frac{\partial z}{\partial x}. $$

代入得 $$ \frac{\partial \Phi}{\partial u} \left( c - a \frac{\partial z}{\partial x} \right) + \frac{\partial \Phi}{\partial v} \left( -b \frac{\partial z}{\partial x} \right) = 0. $$ 整理为 $$ c \frac{\partial \Phi}{\partial u} = \left( a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) \frac{\partial z}{\partial x}. \tag{1} $$

再对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial \Phi}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial \Phi}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0, $$ 其中 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 - a \frac{\partial z}{\partial y} = -a \frac{\partial z}{\partial y},\quad \frac{\partial v}{\partial y} = c - b \frac{\partial z}{\partial y}. $$

代入得 $$ \frac{\partial \Phi}{\partial u} \left( -a \frac{\partial z}{\partial y} \right) + \frac{\partial \Phi}{\partial v} \left( c - b \frac{\partial z}{\partial y} \right) = 0, $$ 整理为 $$ c \frac{\partial \Phi}{\partial v} = \left( a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) \frac{\partial z}{\partial y}. \tag{2} $$

将 (1) 和 (2) 两式相加： $$ c \left( \frac{\partial \Phi}{\partial u} + \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) = \left( a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) \left( \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \right). $$

但我们实际需要的是 $a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y}$。 将 (1) 式乘以 $a$，(2) 式乘以 $b$，再相加：

$$ a c \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b c \frac{\partial \Phi}{\partial v} = \left( a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) \left( a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} \right). $$

左边提取公因子 $c$： $$ c \left( a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) = \left( a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right) \left( a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} \right). $$

由于 $\Phi$ 有连续偏导且隐函数存在，括号 $a \frac{\partial \Phi}{\partial u} + b \frac{\partial \Phi}{\partial v}$ 一般不为零，可约去，得到 $$ a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} = c. $$

证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入中间变量并求偏导关系
设 u = c x - a z, v = c y - b z，其中 z = f(x, y) 由方程 Φ(u, v) = 0 隐式确定。对方程两边关于 x 求偏导，注意 u, v 依赖于 x 和 y。
公式：∂Φ/∂u · ∂u/∂x + ∂Φ/∂v · ∂v/∂x = 0
提示：隐函数求导时，注意中间变量对自变量的依赖关系。
步骤 2/4
目标：计算关于 x 的偏导并整理
计算 ∂u/∂x = c - a ∂z/∂x，∂v/∂x = -b ∂z/∂x，代入得 ∂Φ/∂u (c - a ∂z/∂x) + ∂Φ/∂v (-b ∂z/∂x) = 0，整理为 c ∂Φ/∂u = (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v) ∂z/∂x。
公式：c ∂Φ/∂u = (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v) ∂z/∂x
提示：注意符号，将含 ∂z/∂x 的项移到一边。
步骤 3/4
目标：计算关于 y 的偏导并整理
对方程两边关于 y 求偏导，计算 ∂u/∂y = -a ∂z/∂y，∂v/∂y = c - b ∂z/∂y，代入得 ∂Φ/∂u (-a ∂z/∂y) + ∂Φ/∂v (c - b ∂z/∂y) = 0，整理为 c ∂Φ/∂v = (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v) ∂z/∂y。
公式：c ∂Φ/∂v = (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v) ∂z/∂y
提示：与 x 求导类似，注意对称性。
步骤 4/4
目标：组合两个方程得到目标等式
将 (1) 式乘以 a，(2) 式乘以 b，然后相加：a c ∂Φ/∂u + b c ∂Φ/∂v = (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v)(a ∂z/∂x + b ∂z/∂y)。左边提取公因子 c 得 c (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v) = (a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v)(a ∂z/∂x + b ∂z/∂y)。由于 a ∂Φ/∂u + b ∂Φ/∂v 一般不为零，约去即得 a ∂z/∂x + b ∂z/∂y = c。
公式：a ∂z/∂x + b ∂z/∂y = c
提示：注意隐函数存在定理保证分母不为零。

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