同济高数 第9章 第9-6-8题

教材习题

📝 题目

8．求曲面 $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面及法线方程．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知曲面方程为 $$ \mathrm{e}^{z} - z + xy = 3 $$ 记 $$ F(x, y, z) = \mathrm{e}^{z} - z + xy - 3 $$ 则曲面上一点处的切平面法向量为梯度 $$ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial F}{\partial y},\ \frac{\partial F}{\partial z} \right) $$ 分别求偏导数： $$ \frac{\partial F}{\partial x} = y,\quad \frac{\partial F}{\partial y} = x,\quad \frac{\partial F}{\partial z} = \mathrm{e}^{z} - 1 $$ 在给定点 $(2,1,0)$ 处，代入得： $$ \frac{\partial F}{\partial x}\big|_{(2,1,0)} = 1,\quad \frac{\partial F}{\partial y}\big|_{(2,1,0)} = 2,\quad \frac{\partial F}{\partial z}\big|_{(2,1,0)} = \mathrm{e}^{0} - 1 = 0 $$ 因此该点处的法向量为 $$ \mathbf{n} = (1,\ 2,\ 0) $$

**切平面方程**： 由点法式，过点 $(2,1,0)$ 且法向量为 $(1,2,0)$ 的平面方程为 $$ 1\cdot (x - 2) + 2\cdot (y - 1) + 0\cdot (z - 0) = 0 $$ 化简得 $$ x - 2 + 2y - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 2y - 4 = 0 $$

**法线方程**： 方向向量即为法向量 $(1,2,0)$，因此法线的对称式方程为 $$ \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2},\quad z = 0 $$

最终答案为： 切平面：$\displaystyle x + 2y - 4 = 0$ 法线：$\displaystyle \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2},\ z=0$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造辅助函数并求梯度
将曲面方程改写为 F(x,y,z) = e^z - z + xy - 3 = 0，则曲面上一点处的法向量为梯度 ∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)。
公式：F(x,y,z) = e^z - z + xy - 3
提示：注意曲面方程需化为 F=0 的形式。
步骤 2/5
目标：计算偏导数
∂F/∂x = y，∂F/∂y = x，∂F/∂z = e^z - 1。
公式：∂F/∂x = y, ∂F/∂y = x, ∂F/∂z = e^z - 1
提示：对 z 求导时，e^z 的导数为 e^z，-z 的导数为 -1。
步骤 3/5
目标：代入给定点求法向量
将点 (2,1,0) 代入偏导数：∂F/∂x = 1，∂F/∂y = 2，∂F/∂z = e^0 - 1 = 0，故法向量 n = (1,2,0)。
公式：n = (1,2,0)
提示：注意 e^0 = 1。
步骤 4/5
目标：写出切平面方程
由点法式：1·(x-2) + 2·(y-1) + 0·(z-0) = 0，化简得 x + 2y - 4 = 0。
公式：x + 2y - 4 = 0
提示：点法式：n·(r - r0) = 0。
步骤 5/5
目标：写出法线方程
法线方向向量为 (1,2,0)，对称式方程为 (x-2)/1 = (y-1)/2，且 z = 0。
公式：(x-2)/1 = (y-1)/2, z = 0
提示：法线方程中分母为法向量分量，若分量为0则对应变量为常数。

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