同济高数 第9章 第9-6-9题

教材习题

📝 题目

9．求曲面 $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面及法线方程．

💡 答案解析

[AI解答]

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已知曲面方程为： $$ a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 1 $$ 设函数 $$ F(x, y, z) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} - 1 $$ 则曲面上点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为梯度： $$ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (2a x, 2b y, 2c z) $$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，法向量为： $$ \mathbf{n} = (2a x_0, 2b y_0, 2c z_0) $$

**切平面方程**： 利用点法式，切平面方程为： $$ 2a x_0 (x - x_0) + 2b y_0 (y - y_0) + 2c z_0 (z - z_0) = 0 $$ 化简得： $$ a x_0 (x - x_0) + b y_0 (y - y_0) + c z_0 (z - z_0) = 0 $$ 进一步展开： $$ a x_0 x - a x_0^{2} + b y_0 y - b y_0^{2} + c z_0 z - c z_0^{2} = 0 $$ 由于点 $(x_0, y_0, z_0)$ 在曲面上，满足： $$ a x_0^{2} + b y_0^{2} + c z_0^{2} = 1 $$ 代入上式得： $$ a x_0 x + b y_0 y + c z_0 z = 1 $$ 因此切平面方程为： $$ \boxed{a x_0 x + b y_0 y + c z_0 z = 1} $$

**法线方程**： 法线方向向量为 $(a x_0, b y_0, c z_0)$（可约去公因子2），法线方程为： $$ \frac{x - x_0}{a x_0} = \frac{y - y_0}{b y_0} = \frac{z - z_0}{c z_0} $$ 注意：若某个分母为零，则对应分子也为零处理。

因此法线方程为： $$ \boxed{\frac{x - x_0}{a x_0} = \frac{y - y_0}{b y_0} = \frac{z - z_0}{c z_0}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：构造辅助函数并求梯度
令 F(x,y,z) = a x^2 + b y^2 + c z^2 - 1，则曲面为 F=0。梯度 ∇F = (2a x, 2b y, 2c z)，在点 (x0,y0,z0) 处法向量为 (2a x0, 2b y0, 2c z0)。
公式：∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z)
提示：法向量可约去公因子2，简化为 (a x0, b y0, c z0)。
步骤 2/3
目标：写出切平面方程
利用点法式：2a x0 (x - x0) + 2b y0 (y - y0) + 2c z0 (z - z0) = 0，化简得 a x0 x + b y0 y + c z0 z = a x0^2 + b y0^2 + c z0^2。由于点在曲面上，a x0^2 + b y0^2 + c z0^2 = 1，故切平面方程为 a x0 x + b y0 y + c z0 z = 1。
公式：a x0 x + b y0 y + c z0 z = 1
提示：注意利用曲面方程化简常数项。
步骤 3/3
目标：写出法线方程
法线方向向量取 (a x0, b y0, c z0)，法线方程为 (x - x0)/(a x0) = (y - y0)/(b y0) = (z - z0)/(c z0)。若某分母为零，则对应分子为零。
公式：(x - x0)/(a x0) = (y - y0)/(b y0) = (z - z0)/(c z0)
提示：分母为零时，法线方向向量对应分量为0，方程中该分子为0。

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