同济高数 第9章 第9-7-5题
📝 题目
5．求函数 $u=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 处沿从点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，函数为 $u = x y z$，点 $P_0 = (5,1,2)$，方向取为从 $P_0$ 到 $Q = (9,4,14)$ 的方向。
**第一步：计算方向向量及其单位向量** 方向向量为 $$ \vec{l} = \overrightarrow{P_0Q} = (9-5,\ 4-1,\ 14-2) = (4,\ 3,\ 12). $$ 其模长为 $$ |\vec{l}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13. $$ 因此单位方向向量为 $$ \vec{l_0} = \left( \frac{4}{13},\ \frac{3}{13},\ \frac{12}{13} \right). $$
**第二步：计算梯度** 函数 $u = xyz$ 的偏导数为 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = yz,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = xz,\quad \frac{\partial u}{\partial z} = xy. $$ 在点 $(5,1,2)$ 处： $$ \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{(5,1,2)} = 1 \cdot 2 = 2, $$ $$ \left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{(5,1,2)} = 5 \cdot 2 = 10, $$ $$ \left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{(5,1,2)} = 5 \cdot 1 = 5. $$ 所以梯度为 $$ \nabla u(5,1,2) = (2,\ 10,\ 5). $$
**第三步：方向导数公式** 方向导数 $$ \frac{\partial u}{\partial \vec{l}} \bigg|_{P_0} = \nabla u(P_0) \cdot \vec{l_0} = (2,\ 10,\ 5) \cdot \left( \frac{4}{13},\ \frac{3}{13},\ \frac{12}{13} \right). $$ 计算点积： $$ 2 \cdot \frac{4}{13} + 10 \cdot \frac{3}{13} + 5 \cdot \frac{12}{13} = \frac{8}{13} + \frac{30}{13} + \frac{60}{13} = \frac{98}{13}. $$
因此方向导数为 $$ \boxed{\displaystyle \frac{98}{13}}. $$
难度：★★☆☆☆