同济高数 第9章 第9-8-3题
📝 题目
3．求函数 $f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ 的极值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ f(x, y) = (6x - x^2)(4y - y^2) $$ 的极值。
**第一步：求一阶偏导数并令其为零** 先分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导：
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = (6 - 2x)(4y - y^2) $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = (6x - x^2)(4 - 2y) $$
令它们等于零：
$$ (6 - 2x)(4y - y^2) = 0 $$ $$ (6x - x^2)(4 - 2y) = 0 $$
**第二步：解方程组求驻点**
由第一个方程得： - 情况1: $6 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3$ - 情况2: $4y - y^2 = 0 \Rightarrow y(4 - y) = 0 \Rightarrow y = 0$ 或 $y = 4$
由第二个方程得： - 情况A: $6x - x^2 = 0 \Rightarrow x(6 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 6$ - 情况B: $4 - 2y = 0 \Rightarrow y = 2$
组合所有情况得到驻点： 从情况1与情况B：$(3, 2)$ 从情况1与情况A：$(3, 0)$ 和 $(3, 4)$ 但需检查是否满足第二个方程？ - 当 $x=3$，第二个方程变为 $(18 - 9)(4 - 2y) = 9(4 - 2y)=0$ 给出 $y=2$，所以 $(3,0)$ 和 $(3,4)$ 不满足第二个方程，除非我们考虑因式分解的另一种情况。我们需系统组合：
实际上，方程组等价于： $$ (6-2x)(4y - y^2) = 0,\quad (6x - x^2)(4-2y) = 0 $$ 所以可能的组合是： 1. $6-2x=0$ 且 $4-2y=0$ → $(3,2)$ 2. $6-2x=0$ 且 $6x-x^2=0$ → 但 $x=3$ 时 $6x-x^2=9\neq0$，所以无解 3. $4y-y^2=0$ 且 $4-2y=0$ → $y=0$ 或 $4$ 与 $y=2$ 矛盾，无解 4. $4y-y^2=0$ 且 $6x-x^2=0$ → 即 $y=0$ 或 $4$，且 $x=0$ 或 $6$，得到四个点：$(0,0), (0,4), (6,0), (6,4)$
因此驻点为： $$ (3,2),\quad (0,0),\quad (0,4),\quad (6,0),\quad (6,4) $$
**第三步：求二阶偏导数**
$$ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(6-2x)(4y-y^2) = (-2)(4y - y^2) $$ $$ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(6x-x^2)(4-2y) = (6x-x^2)(-2) $$ $$ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(6-2x)(4y-y^2) = (6-2x)(4 - 2y) $$
**第四步：用判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ 判断**
1. 在 $(3,2)$： $f_{xx} = -2(8-4) = -2\cdot4 = -8$ $f_{yy} = (18-9)(-2) = 9\cdot(-2) = -18$ $f_{xy} = (6-6)(4-4)=0$ $D = (-8)(-18) - 0 = 144 > 0$，且 $f_{xx}<0$，所以是极大值点。 极大值：$f(3,2) = (18-9)(8-4) = 9 \cdot 4 = 36$
2. 在 $(0,0)$： $f_{xx} = -2(0-0)=0$ $f_{yy} = (0-0)(-2)=0$ $f_{xy} = (6-0)(4-0)=24$ $D = 0 - 24^2 = -576 < 0$，鞍点。
3. 在 $(0,4)$： $f_{xx} = -2(16-16)=0$ $f_{yy} = (0-0)(-2)=0$ $f_{xy} = (6-0)(4-8)=6\cdot(-4)=-24$ $D = 0 - (-24)^2 = -576 < 0$，鞍点。
4. 在 $(6,0)$： $f_{xx} = -2(0-0)=0$ $f_{yy} = (36-36)(-2)=0$ $f_{xy} = (6-12)(4-0)=(-6)\cdot4=-24$ $D = -576 < 0$，鞍点。
5. 在 $(6,4)$： $f_{xx} = -2(16-16)=0$ $f_{yy} = (36-36)(-2)=0$ $f_{xy} = (6-12)(4-8)=(-6)(-4)=24$ $D = -576 < 0$，鞍点。
**结论**： 函数有唯一极大值点 $(3,2)$，极大值为 $36$，其余驻点均为鞍点。
难度评级：★★☆☆☆ （计算量中等，但思路清晰，属于典型二元函数极值问题）