同济高数 第9章 第9-8-4题
📝 题目
4．求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x, \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3, \\ z=x\end{array}\right.$ 之间的最短距离．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求两条直线之间的最短距离。先将两条直线写成对称式或参数式。
**第一步：将直线化为参数方程** 第一条直线： $$ \begin{cases} y = 2x, \\ z = x + 1 \end{cases} $$ 令 $x = t$，则参数式为： $$ L_1: \quad (x, y, z) = (t,\; 2t,\; t+1) $$
第二条直线： $$ \begin{cases} y = x + 3, \\ z = x \end{cases} $$ 令 $x = s$，则参数式为： $$ L_2: \quad (x, y, z) = (s,\; s+3,\; s) $$
**第二步：取方向向量与两点** $L_1$ 方向向量：$\vec{v}_1 = (1, 2, 1)$ $L_2$ 方向向量：$\vec{v}_2 = (1, 1, 1)$
取 $L_1$ 上一点 $P_1 = (0, 0, 1)$（对应 $t=0$） 取 $L_2$ 上一点 $P_2 = (0, 3, 0)$（对应 $s=0$） 则向量： $$ \overrightarrow{P_1P_2} = (0-0,\; 3-0,\; 0-1) = (0, 3, -1) $$
**第三步：最短距离公式** 两异面直线距离： $$ d = \frac{\left| \left( \overrightarrow{P_1P_2} \right) \cdot \left( \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \right) \right|}{\| \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \|} $$
先计算叉积： $$ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot 1 - 1\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - 2\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(2-1) - \mathbf{j}(1-1) + \mathbf{k}(1-2) = (1, 0, -1) $$
模长： $$ \| \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$
点积： $$ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0, 3, -1) \cdot (1, 0, -1) = 0\cdot 1 + 3\cdot 0 + (-1)\cdot (-1) = 1 $$
**第四步：代入公式** $$ d = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
因此，两直线之间的最短距离为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。
难度：★★☆☆☆