同济高数 第9章 第9-8-8题
📝 题目
8．在平面 $x O y$ 上求一点，使它到 $x=0, y=0$ 及 $x+2 y-16=0$ 三直线的距离平方之和为最小．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求平面 $xOy$ 上一点 $(x, y)$ 到三条直线 $$ x=0,\quad y=0,\quad x+2y-16=0 $$ 的距离平方之和最小。
**第一步：写出点到直线的距离公式** - 到直线 $x=0$（即 $y$ 轴）的距离为 $|x|$； - 到直线 $y=0$（即 $x$ 轴）的距离为 $|y|$； - 到直线 $x+2y-16=0$ 的距离为 $$ \frac{|x+2y-16|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|x+2y-16|}{\sqrt{5}}. $$
由于我们考虑的是平方和，且最小值通常出现在使各表达式非负的区域（即点位于第一象限且靠近直线内侧），可去掉绝对值符号，假设 $x \ge 0, y \ge 0$ 且 $x+2y-16 \le 0$ 时，平方和表达式为 $$ S(x,y) = x^2 + y^2 + \frac{(x+2y-16)^2}{5}. $$
**第二步：求无条件极值** 对 $S$ 分别求偏导： $$ \frac{\partial S}{\partial x} = 2x + \frac{2(x+2y-16)}{5} = 0, $$ $$ \frac{\partial S}{\partial y} = 2y + \frac{4(x+2y-16)}{5} = 0. $$
化简第一个方程： $$ 2x + \frac{2}{5}(x+2y-16)=0 \quad\Rightarrow\quad 10x + 2x + 4y - 32 = 0, $$ $$ 12x + 4y - 32 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x + y = 8. \tag{1} $$
化简第二个方程： $$ 2y + \frac{4}{5}(x+2y-16)=0 \quad\Rightarrow\quad 10y + 4x + 8y - 64 = 0, $$ $$ 4x + 18y - 64 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x + 9y = 32. \tag{2} $$
**第三步：解方程组** 由 (1) 得 $y = 8 - 3x$，代入 (2)： $$ 2x + 9(8 - 3x) = 32 \quad\Rightarrow\quad 2x + 72 - 27x = 32, $$ $$ -25x = -40 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{8}{5}. $$ 于是 $$ y = 8 - 3\cdot\frac{8}{5} = 8 - \frac{24}{5} = \frac{40-24}{5} = \frac{16}{5}. $$
**第四步：验证约束条件** 此时 $x>0, y>0$，且 $$ x+2y-16 = \frac{8}{5} + \frac{32}{5} - 16 = \frac{40}{5} - 16 = 8 - 16 = -8 < 0, $$ 符合去掉绝对值的假设，因此该点是有效的最小值点。
**第五步：结论** 所求点为 $$ \boxed{\left(\frac{8}{5},\ \frac{16}{5}\right)}. $$
难度：★★☆☆☆