同济高数 第9章 第9-9-4题
📝 题目
4．利用函数 $f(x, y)=x^{y}$ 的三阶泰勒公式，计算 $1.1^{1.02}$ 的近似值．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们考虑函数 $$ f(x,y)=x^{y}. $$ 取展开点 $(x_0,y_0)=(1,1)$，因为 $1.1^{1.02}$ 接近于此点。令 $$ \Delta x = 0.1,\quad \Delta y = 0.02. $$
首先计算各阶偏导数在 $(1,1)$ 处的值。
**零阶项** $$ f(1,1)=1^1=1. $$
**一阶偏导数** $$ f_x = y x^{y-1},\quad f_x(1,1)=1\cdot 1^{0}=1, $$ $$ f_y = x^{y}\ln x,\quad f_y(1,1)=1\cdot \ln 1=0. $$
**二阶偏导数** $$ f_{xx}=y(y-1)x^{y-2},\quad f_{xx}(1,1)=1\cdot 0\cdot 1^{-1}=0, $$ $$ f_{xy}=x^{y-1}+y x^{y-1}\ln x,\quad f_{xy}(1,1)=1^{0}+1\cdot 1^{0}\cdot 0=1, $$ $$ f_{yy}=x^{y}(\ln x)^2,\quad f_{yy}(1,1)=1\cdot 0=0. $$
**三阶偏导数** 先求一般形式： $$ f_{xxx}=y(y-1)(y-2)x^{y-3},\quad f_{xxx}(1,1)=1\cdot0\cdot(-1)\cdot1=0, $$ $$ f_{xxy}= (y-1)x^{y-2}+y x^{y-2}+y(y-1)x^{y-2}\ln x, $$ 在(1,1)处： 第一项：$(1-1)\cdot 1^{-1}=0$， 第二项：$1\cdot 1^{-1}=1$， 第三项：$1\cdot0\cdot1^{-1}\cdot0=0$， 所以 $f_{xxy}(1,1)=1$。
$$ f_{xyy}= x^{y-1}\ln x + x^{y-1}\ln x + y x^{y-1}(\ln x)^2, $$ 在(1,1)处： 前两项均为 $1^{0}\cdot0=0$，第三项为 $1\cdot1^{0}\cdot0=0$， 所以 $f_{xyy}(1,1)=0$。
$$ f_{yyy}= x^{y}(\ln x)^3,\quad f_{yyy}(1,1)=1\cdot0=0. $$
**三阶泰勒公式**（展开到三阶项）： $$ f(1+\Delta x,1+\Delta y) \approx f(1,1) + \left( f_x\Delta x + f_y\Delta y \right) + \frac{1}{2!}\left( f_{xx}\Delta x^2 + 2f_{xy}\Delta x\Delta y + f_{yy}\Delta y^2 \right) + \frac{1}{3!}\Big( f_{xxx}\Delta x^3 + 3f_{xxy}\Delta x^2\Delta y + 3f_{xyy}\Delta x\Delta y^2 + f_{yyy}\Delta y^3 \Big). $$
代入数值： $$ f(1.1,1.02) \approx 1 + \left(1\cdot0.1 + 0\cdot0.02\right) + \frac12\left(0\cdot0.01 + 2\cdot1\cdot0.1\cdot0.02 + 0\cdot0.0004\right) + \frac16\left(0\cdot0.001 + 3\cdot1\cdot0.01\cdot0.02 + 3\cdot0\cdot0.1\cdot0.0004 + 0\cdot 8\times10^{-6}\right). $$
计算： 一阶部分：$0.1$。 二阶部分：$\frac12 \cdot (2\cdot0.002) = \frac12 \cdot 0.004 = 0.002$。 三阶部分：$\frac16 \cdot (3\cdot0.0002) = \frac16 \cdot 0.0006 = 0.0001$。
总和： $$ 1 + 0.1 + 0.002 + 0.0001 = 1.1021. $$
因此近似值为 $$ \boxed{1.1021}. $$
**难度评级**：★★★☆☆ （需要计算多元函数偏导至三阶，并代入数值，计算量中等，但思路清晰。）