同济高数 第1章 第1-1-17题
📝 题目
17．求联系华氏温度（用 $F$ 表示）和摄氏温度（用 $C$ 表示）的转换公式，并求 （1） $90{ }^{\circ} \mathrm{F}$ 的等价摄氏温度和 $-5{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的等价华氏温度； （2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知摄氏温度 $C$ 与华氏温度 $F$ 之间的转换关系为线性关系，其标准公式为：
$$ F = \frac{9}{5}C + 32 $$
或等价地：
$$ C = \frac{5}{9}(F - 32) $$
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### （1）计算具体数值
- 当 $F = 90^\circ \mathrm{F}$ 时：
$$ C = \frac{5}{9}(90 - 32) = \frac{5}{9} \times 58 = \frac{290}{9} \approx 32.22^\circ \mathrm{C} $$
- 当 $C = -5^\circ \mathrm{C}$ 时：
$$ F = \frac{9}{5}(-5) + 32 = -9 + 32 = 23^\circ \mathrm{F} $$
因此： $$ \boxed{90^\circ \mathrm{F} \approx 32.22^\circ \mathrm{C},\quad -5^\circ \mathrm{C} = 23^\circ \mathrm{F}} $$
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### （2）是否存在相同的读数
设该相同读数为 $x$，即：
$$ F = C = x $$
代入转换公式：
$$ x = \frac{9}{5}x + 32 $$
移项得：
$$ x - \frac{9}{5}x = 32 $$ $$ -\frac{4}{5}x = 32 $$ $$ x = 32 \times \left(-\frac{5}{4}\right) = -40 $$
因此，存在这样的温度，且为：
$$ \boxed{-40^\circ} $$
即 $-40^\circ \mathrm{F} = -40^\circ \mathrm{C}$。