同济高数 第1章 第1-1-9题
📝 题目
9．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ （1）$y=x^{2}\left(1-x^{2}\right)$ ； （2）$y=3 x^{2}-x^{3}$ ； （3）$\displaystyle y=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ； （4）$y=x(x-1)(x+1)$ ； （5）$y=\sin x-\cos x+1$ ； （6）$\displaystyle y=\frac{a^{x}+a^{-x}}{2}(a\gt 0, a \neq 1)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们逐一判断函数的奇偶性。 定义：若 $ f(-x) = f(x) $，则为偶函数；若 $ f(-x) = -f(x) $，则为奇函数；否则既非奇也非偶。
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**(1)** $ y = x^{2}(1 - x^{2}) $ 令 $ f(x) = x^{2}(1 - x^{2}) $，则 $$ f(-x) = (-x)^{2}(1 - (-x)^{2}) = x^{2}(1 - x^{2}) = f(x) $$ 所以是 **偶函数**。
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**(2)** $ y = 3x^{2} - x^{3} $ 令 $ f(x) = 3x^{2} - x^{3} $，则 $$ f(-x) = 3(-x)^{2} - (-x)^{3} = 3x^{2} + x^{3} $$ 显然 $ f(-x) \neq f(x) $ 且 $ f(-x) \neq -f(x) $，所以 **既非奇也非偶**。
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**(3)** $ y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} $ 令 $ f(x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} $，则 $$ f(-x) = \frac{1 - (-x)^{2}}{1 + (-x)^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} = f(x) $$ 所以是 **偶函数**。
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**(4)** $ y = x(x-1)(x+1) $ 先化简： $$ x(x-1)(x+1) = x(x^{2} - 1) = x^{3} - x $$ 令 $ f(x) = x^{3} - x $，则 $$ f(-x) = (-x)^{3} - (-x) = -x^{3} + x = -(x^{3} - x) = -f(x) $$ 所以是 **奇函数**。
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**(5)** $ y = \sin x - \cos x + 1 $ 令 $ f(x) = \sin x - \cos x + 1 $，则 $$ f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x) + 1 = -\sin x - \cos x + 1 $$ 比较： $ f(x) = \sin x - \cos x + 1 $ 显然 $ f(-x) \neq f(x) $ 且 $ f(-x) \neq -f(x) $，所以 **既非奇也非偶**。
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**(6)** $ y = \frac{a^{x} + a^{-x}}{2} \quad (a>0, a \neq 1) $ 令 $ f(x) = \frac{a^{x} + a^{-x}}{2} $，则 $$ f(-x) = \frac{a^{-x} + a^{x}}{2} = f(x) $$ 所以是 **偶函数**。
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**最终答案：** (1) 偶函数 (2) 既非奇也非偶 (3) 偶函数 (4) 奇函数 (5) 既非奇也非偶 (6) 偶函数