同济高数 第1章 第1-2-*6题
📝 题目
＊6．若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=a$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}\right|=|a|$ ．并举例说明：即使数列 $\left\{\left|x_{n}\right|\right\}$ 有极限，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 也未必有极限．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明** 已知 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n = a$，由极限定义： 对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $$ |u_n - a| < \varepsilon. $$ 利用绝对值不等式 $$ \bigl| |u_n| - |a| \bigr| \le |u_n - a|, $$ 因此当 $n > N$ 时，也有 $$ \bigl| |u_n| - |a| \bigr| < \varepsilon. $$ 由极限定义即得 $$ \lim_{n\to\infty} |u_n| = |a|. $$
**反例说明** 考虑数列 $\{x_n\}$，其中 $$ x_n = (-1)^n. $$ 则 $$ |x_n| = 1,\quad \forall n, $$ 显然 $$ \lim_{n\to\infty} |x_n| = 1, $$ 但 $\{x_n\}$ 本身在 $1$ 与 $-1$ 之间振荡，不收敛于任何实数，故无极限。 这说明数列绝对值有极限不能推出原数列有极限。
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明极限等式
已知 lim_{n→∞} u_n = a，由极限定义，对任意 ε>0，存在 N，当 n>N 时，|u_n - a| < ε。利用绝对值不等式 ||u_n| - |a|| ≤ |u_n - a|，得 ||u_n| - |a|| < ε，故 lim_{n→∞} |u_n| = |a|。
公式：||u_n| - |a|| ≤ |u_n - a|
提示：注意绝对值不等式的使用，将原极限转化为绝对值极限。
步骤 2/2
目标：构造反例
取 x_n = (-1)^n，则 |x_n| = 1，极限为 1，但 {x_n} 不收敛。
公式：x_n = (-1)^n
提示：反例需满足绝对值收敛但原数列振荡。
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