同济高数 第1章 第1-3-2题
📝 题目
2．对图 1－27 所示的函数 $y=f(x)$ ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在； （6）对每个 $x_{0} \in(-1,1), \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
由于题目中提到的图 1-27 未实际给出，但根据常见高等数学习题中此类函数图形的典型特征（例如分段、跳跃、间断等），我们可以假设函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 附近有特殊变化，从而判断各极限陈述的真假。以下基于常见图形特征进行推理分析。
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**（1）** $\displaystyle{\lim}_{x \to 0} f(x)$ 不存在。
常见图形中，$x=0$ 处函数左右极限可能不相等，例如左极限为 $0$，右极限为 $1$，则极限不存在。 因此此陈述通常为 **对**。
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**（2）** $\displaystyle{\lim}_{x \to 0} f(x)=0$。
若左右极限不相等，则极限值不可能唯一等于 $0$，故为 **错**。
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**（3）** $\displaystyle{\lim}_{x \to 0} f(x)=1$。
同理，若左右极限不相等，则不可能等于 $1$，故为 **错**。
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**（4）** $\displaystyle{\lim}_{x \to 1} f(x)=0$。
在 $x=1$ 处，若函数连续且函数值为 $0$，则极限为 $0$；但常见图形中 $x=1$ 处可能有跳跃或可去间断点，若左右极限存在且相等但不等于函数值，则极限存在但不一定是 $0$。 根据常见图形，此处常为 **错**。
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**（5）** $\displaystyle{\lim}_{x \to 1} f(x)$ 不存在。
若 $x=1$ 处左右极限存在且相等，则极限存在，故为 **错**；若左右极限不相等，则为 **对**。常见图形中此处极限存在，故通常为 **错**。
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**（6）** 对每个 $x_0 \in (-1,1)$，$\displaystyle{\lim}_{x \to x_0} f(x)$ 存在。
在开区间 $(-1,1)$ 内，除了 $x=0$ 可能有跳跃间断点外，其余点通常连续，因此极限存在。但若 $x=0$ 处极限不存在，则此陈述为 **错**。 常见图形中 $x=0$ 处极限不存在，故为 **错**。
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**最终答案（常见情形）**：
- (1) 对 - (2) 错 - (3) 错 - (4) 错 - (5) 错 - (6) 错
若实际图形不同，请对照图形重新判断。