同济高数 第1章 第1-3-*7题
📝 题目
＊7．当 $x \rightarrow 2$ 时，$y=x^{2} \rightarrow 4$ ．问 $\delta$ 等于多少，使当 $|x-2|\lt \delta$ 时，$|y-4|\lt 0.001$ ？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们需要找到 $\delta > 0$，使得当 $|x-2|<\delta$ 时，有 $|x^2 - 4| < 0.001$。
首先，将表达式变形： $$ |x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2| \cdot |x+2|. $$
由于 $x$ 接近 2，我们可以先限制 $x$ 的范围，例如取 $|x-2| < 1$，则 $1 < x < 3$，于是 $$ |x+2| < 5. $$
因此，当 $|x-2| < 1$ 时， $$ |x^2 - 4| = |x-2| \cdot |x+2| < 5|x-2|. $$
要使 $|x^2 - 4| < 0.001$，只需 $$ 5|x-2| < 0.001 \quad\Rightarrow\quad |x-2| < \frac{0.001}{5} = 0.0002. $$
现在取 $\delta$ 为两个限制中较小的一个，即 $$ \delta = \min\left(1,\; 0.0002\right) = 0.0002. $$
因此，当 $|x-2| < 0.0002$ 时，必有 $|x^2 - 4| < 0.001$。
最终答案为： $$ \boxed{0.0002} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将表达式变形
将 |x^2 - 4| 分解为 |(x-2)(x+2)| = |x-2|·|x+2|
公式：|x^2 - 4| = |x-2|·|x+2|
提示：利用平方差公式
步骤 2/5
目标：限制 x 的范围
取 |x-2| < 1，则 1 < x < 3，从而 |x+2| < 5
公式：|x+2| < 5
提示：先给一个粗略限制，便于放缩
步骤 3/5
目标：放缩不等式
当 |x-2| < 1 时，|x^2-4| < 5|x-2|
公式：|x^2-4| < 5|x-2|
提示：利用上一步的界
步骤 4/5
目标：解出 δ
令 5|x-2| < 0.001，得 |x-2| < 0.0002
公式：|x-2| < 0.0002
步骤 5/5
目标：取 δ 为最小值
取 δ = min(1, 0.0002) = 0.0002
公式：δ = 0.0002
提示：保证两个条件同时成立
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。