同济高数 第1章 第1-3-*8题
📝 题目
＊8．当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3} \rightarrow 1$ ．问 $X$ 等于多少，使当 $|x|\gt X$ 时，$|y-1|\lt 0.01$ ？
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知函数 $$ y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3} $$ 且当 $x \to \infty$ 时，$y \to 1$。 要求找出一个正数 $X$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $$ |y - 1| < 0.01. $$
首先计算差值： $$ y - 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3} - 1 = \frac{x^2 - 1 - (x^2 + 3)}{x^2 + 3} = \frac{-4}{x^2 + 3}. $$
因此 $$ |y - 1| = \frac{4}{x^2 + 3}. $$
我们要使 $$ \frac{4}{x^2 + 3} < 0.01. $$
解这个不等式： $$ \frac{4}{x^2 + 3} < \frac{1}{100} $$ 两边取倒数（注意分母为正）： $$ x^2 + 3 > 400 $$ 即 $$ x^2 > 397. $$
所以 $$ |x| > \sqrt{397}. $$
计算近似值： $$ \sqrt{397} \approx 19.9249. $$
因此，取 $$ X = \sqrt{397} \quad \text{或取整为 } X = 20 $$ 即可保证当 $|x| > X$ 时，有 $|y - 1| < 0.01$。
最终答案： $$ \boxed{X = \sqrt{397}} $$