同济高数 第1章 第1-4-1题
📝 题目
1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之．**
**解：** 两个无穷小的商不一定是无穷小。因为无穷小是极限为0的变量，但它们的比值可能趋于0、趋于非零常数、趋于无穷大，甚至可能不趋于任何极限。下面通过具体例子说明。
设当 $x \to 0$ 时，考虑以下三种情况：
1. **商为无穷小** 取 $\alpha(x) = x^2$，$\beta(x) = x$，则当 $x \to 0$ 时，$\alpha(x) \to 0$，$\beta(x) \to 0$， $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x^2}{x} = x \to 0, $$ 此时商是无穷小。
2. **商为非零常数** 取 $\alpha(x) = 2x$，$\beta(x) = x$，则 $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{2x}{x} = 2 \to 2 \neq 0, $$ 此时商不是无穷小。
3. **商为无穷大** 取 $\alpha(x) = x$，$\beta(x) = x^2$，则 $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty, $$ 此时商不是无穷小，而是无穷大。
因此，两个无穷小的商不一定为无穷小，其结果取决于它们趋于0的“速度”比较。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断两个无穷小的商是否一定是无穷小
两个无穷小的商不一定是无穷小，因为无穷小是极限为0的变量，但它们的比值可能趋于0、非零常数、无穷大，甚至可能不趋于任何极限。下面通过具体例子说明。
提示：考虑不同阶的无穷小进行比较。
步骤 2/5
目标：举例说明商为无穷小的情况
取 α(x)=x²，β(x)=x，当 x→0 时，α(x)→0，β(x)→0，且 α(x)/β(x)=x²/x=x→0，此时商是无穷小。
公式：lim_{x→0} x²/x = 0
提示：分子是分母的高阶无穷小。
步骤 3/5
目标：举例说明商为非零常数的情况
取 α(x)=2x，β(x)=x，当 x→0 时，α(x)/β(x)=2x/x=2→2≠0，此时商不是无穷小。
公式：lim_{x→0} 2x/x = 2
提示：分子与分母是同阶无穷小。
步骤 4/5
目标：举例说明商为无穷大的情况
取 α(x)=x，β(x)=x²，当 x→0 时，α(x)/β(x)=x/x²=1/x→∞，此时商不是无穷小，而是无穷大。
公式：lim_{x→0} x/x² = ∞
提示：分母是分子的高阶无穷小。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，两个无穷小的商不一定为无穷小，其结果取决于它们趋于0的“速度”比较。
提示：无穷小的比较是高等数学中的重要概念。
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