同济高数 第1章 第1-6-5题
📝 题目
5．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **第一步：证明数列单调有界** 首先，由递推公式 $$ x_{1} = \sqrt{2}, \quad x_{n+1} = \sqrt{2 + x_{n}} $$ 显然所有项均为正数。
**1. 有界性** 用数学归纳法证明：对任意 $n$，有 $x_n < 2$。 - 当 $n=1$ 时，$x_1 = \sqrt{2} < 2$，成立。 - 假设 $x_k < 2$，则 $$ x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2 + 2} = 2 $$ 因此对所有 $n$，$0 < x_n < 2$，数列有上界 2。
**2. 单调性** 考虑 $$ x_{n+1}^2 - x_n^2 = (2 + x_n) - x_n^2 = - (x_n^2 - x_n - 2) = -(x_n - 2)(x_n + 1) $$ 由于 $0 < x_n < 2$，故 $(x_n - 2) < 0$，$(x_n + 1) > 0$，所以 $$ x_{n+1}^2 - x_n^2 > 0 $$ 即 $x_{n+1} > x_n$，数列严格递增。
由单调有界准则，$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} x_n}$ 存在。
**第二步：求极限值** 设 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} x_n} = A$，对递推式两边取极限： $$ A = \sqrt{2 + A} $$ 两边平方得 $$ A^2 = 2 + A \quad\Rightarrow\quad A^2 - A - 2 = 0 $$ 解得 $A = 2$ 或 $A = -1$（舍去，因为所有项为正）。 故极限为 $$ \boxed{2} $$
**难度评级**：★☆☆☆☆ （基础单调有界数列极限问题，步骤标准，计算简单）