同济高数 第1章 第1-6-6题
📝 题目
6．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1} \in(0, \pi), x_{n+1}=\sin x_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：证明极限存在** 已知 $x_1 \in (0, \pi)$，且递推公式为 $$ x_{n+1} = \sin x_n. $$ 对于任意 $x \in (0, \pi)$，有 $\sin x < x$，且 $\sin x > 0$。因此数列 $\{x_n\}$ 严格单调递减且有下界 $0$。由单调有界准则，极限 $$ \lim_{n \to \infty} x_n $$ 存在，记该极限为 $a$，且 $a \ge 0$。
**第二步：求极限值** 对递推关系两边取极限，得到 $$ a = \sin a. $$ 在实数范围内，方程 $a = \sin a$ 的解只有 $a = 0$（因为当 $a > 0$ 时，$\sin a < a$）。 因此 $$ \lim_{n \to \infty} x_n = 0. $$
**结论** $$ \boxed{0} $$
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明极限存在
已知 x1 ∈ (0, π)，且递推公式为 x_{n+1} = sin x_n。对于任意 x ∈ (0, π)，有 sin x < x，且 sin x > 0。因此数列 {x_n} 严格单调递减且有下界 0。由单调有界准则，极限 lim_{n→∞} x_n 存在，记该极限为 a，且 a ≥ 0。
公式：x_{n+1} = sin x_n, sin x < x 对于 x ∈ (0, π)
提示：注意利用 sin x 在 (0, π) 上的性质：sin x < x 且 sin x > 0。
步骤 2/2
目标：求极限值
对递推关系两边取极限，得到 a = sin a。在实数范围内，方程 a = sin a 的解只有 a = 0（因为当 a > 0 时，sin a < a）。因此 lim_{n→∞} x_n = 0。
公式：a = sin a
提示：方程 a = sin a 的唯一解是 a = 0，可通过函数 f(a)=a-sin a 的单调性证明。
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