同济高数 第1章 第1-7-3题
📝 题目
3．当 $x \rightarrow 1$ 时，无穷小 $1-x$ 和（1） $1-x^{3}$ ，（2）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)$ 是否同阶，是否等价？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分析当 $x \to 1$ 时，无穷小 $1-x$ 与另外两个无穷小是否同阶、是否等价。 首先明确： - 两个无穷小 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 当 $x \to a$ 时，若 $$ \lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0 $$ 则称它们同阶；若 $c=1$，则称等价。
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**(1)** 比较 $1-x$ 与 $1-x^3$。
因为 $$ 1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2) $$ 于是 $$ \lim_{x \to 1} \frac{1-x}{1-x^3} = \lim_{x \to 1} \frac{1-x}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{1+x+x^2} = \frac{1}{3} \neq 0 $$ 所以它们是同阶无穷小，但不等价（因为极限为 $\frac{1}{3} \neq 1$）。
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**(2)** 比较 $1-x$ 与 $\frac12(1-x^2)$。
因为 $$ 1-x^2 = (1-x)(1+x) $$ 所以 $$ \frac{1-x}{\frac12(1-x^2)} = \frac{1-x}{\frac12(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1+x} $$ 取极限 $$ \lim_{x \to 1} \frac{1-x}{\frac12(1-x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{1+x} = 1 $$ 因此它们是等价无穷小，当然也是同阶的。
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**结论**： - 对(1)：同阶，不等价。 - 对(2)：同阶且等价。
难度：★☆☆☆☆