同济高数 第2章 第2-1-5题

教材习题

📝 题目

5．证明 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们需要利用导数的定义来证明 $(\cos x)' = -\sin x$。

由导数的定义： $$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}. $$

利用三角恒等式： $$ \cos(x+h) - \cos x = -2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right). $$

因此： $$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}. $$

将分母 $h$ 改写为 $\displaystyle 2 \cdot \frac{h}{2}$： $$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{2 \cdot \frac{h}{2}} = \lim_{h \to 0} \left[ -\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right]. $$

当 $h \to 0$ 时，$\displaystyle \frac{h}{2} \to 0$，利用重要极限 $\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1}$，可得： $$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1. $$

同时，$\displaystyle{\lim_{h \to 0} \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) = \sin x}$。

因此： $$ (\cos x)' = -\sin x \cdot 1 = -\sin x. $$

证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出导数定义
由导数的定义，$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} $。
公式：$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
提示：导数定义是基础，注意极限过程。
步骤 2/5
目标：应用三角恒等式化简分子
利用和差化积公式：$ \cos(x+h) - \cos x = -2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) $。
公式：$ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $
提示：将 $A=x+h$, $B=x$ 代入。
步骤 3/5
目标：代入并整理表达式
代入得：$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} $。将分母 $h$ 写成 $2 \cdot \frac{h}{2}$，得到：$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \left[ -\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right] $。
提示：注意代数变形，将 $h$ 与 $\frac{h}{2}$ 匹配。
步骤 4/5
目标：利用重要极限求极限
当 $h \to 0$ 时，$\frac{h}{2} \to 0$，由重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，得 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1$。同时 $\lim_{h \to 0} \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) = \sin x$。
公式：$ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $
提示：重要极限是核心，注意变量替换。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此 $ (\cos x)' = -\sin x \cdot 1 = -\sin x $。
提示：结果与已知导数公式一致。

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