同济高数 第2章 第2-2-9题

教材习题

📝 题目

9．设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，且 $f^{2}(x)+g^{2}(x) \neq 0$ ，试求函数 $y=\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}$ 的导数．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知 $$ y = \sqrt{f^{2}(x) + g^{2}(x)} = \left( f^{2}(x) + g^{2}(x) \right)^{\frac{1}{2}} $$ 且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，$f^{2}(x) + g^{2}(x) \neq 0$。

我们使用链式法则求导。令 $$ u(x) = f^{2}(x) + g^{2}(x) $$ 则 $$ y = u^{\frac{1}{2}} $$ 于是 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ 先求 $\displaystyle{\frac{dy}{du}}$： $$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}} $$ 再求 $\displaystyle{\frac{du}{dx}}$： $$ \frac{du}{dx} = 2 f(x) f'(x) + 2 g(x) g'(x) $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}} \cdot \left[ 2 f(x) f'(x) + 2 g(x) g'(x) \right] $$ 化简得 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x) f'(x) + g(x) g'(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}} $$ 由于分母不为零，结果成立。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将函数表示为复合函数形式
令 u(x) = f^2(x) + g^2(x)，则 y = u^(1/2)。
公式：y = u^{1/2}, u = f^2 + g^2
提示：注意 f^2(x) + g^2(x) ≠ 0，保证根号内为正。
步骤 2/5
目标：应用链式法则求导
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
公式：dy/dx = (dy/du)(du/dx)
提示：链式法则是复合函数求导的关键。
步骤 3/5
目标：计算 dy/du
dy/du = (1/2) u^(-1/2) = 1/(2√u)。
公式：d(u^{1/2})/du = (1/2)u^{-1/2}
提示：幂函数求导公式。
步骤 4/5
目标：计算 du/dx
du/dx = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)。
公式：d(f^2)/dx = 2f f', d(g^2)/dx = 2g g'
提示：使用链式法则对 f^2 和 g^2 求导。
步骤 5/5
目标：代入并化简
dy/dx = [1/(2√(f^2+g^2))] * [2f f' + 2g g'] = (f f' + g g')/√(f^2+g^2)。
公式：dy/dx = (f f' + g g')/√(f^2+g^2)
提示：约去公因子2，注意分母不为零。

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