同济高数 第2章 第2-3-4题

[AI解答]

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已知 $y$ 是 $x$ 的函数，且 $\displaystyle y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，反函数 $x = x(y)$ 存在且可导，由反函数求导公式有： $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{y'}. $$

**（1）求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}$**

对 $y$ 再次求导，注意 $y'$ 是 $x$ 的函数，而 $x$ 又是 $y$ 的函数，因此使用链式法则： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} y^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \frac{1}{y'} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{1}{y'} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}. $$

先对 $x$ 求导： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{1}{y'} \right) = -\frac{y''}{(y')^2}. $$

再乘以 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{y'}$，得到： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} y^{2}} = -\frac{y''}{(y')^2} \cdot \frac{1}{y'} = -\frac{y''}{(y')^3}. $$

因此（1）得证。

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**（2）求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{3} x}{\mathrm{~d} y^{3}}$**

对（1）的结果再对 $y$ 求一次导： $$ \frac{\mathrm{d}^{3} x}{\mathrm{d} y^{3}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( -\frac{y''}{(y')^3} \right) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \frac{y''}{(y')^3} \right). $$

同样使用链式法则，先对 $x$ 求导再乘以 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \frac{y''}{(y')^3} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{y''}{(y')^3} \right) \cdot \frac{1}{y'}. $$

计算对 $x$ 的导数： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{y''}{(y')^3} \right) = \frac{y''' (y')^3 - y'' \cdot 3(y')^2 y''}{(y')^6} = \frac{y''' (y')^3 - 3 (y'')^2 (y')^2}{(y')^6} = \frac{y''' y' - 3 (y'')^2}{(y')^4}. $$

再乘以 $\displaystyle \frac{1}{y'}$： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \frac{y''}{(y')^3} \right) = \frac{y''' y' - 3 (y'')^2}{(y')^4} \cdot \frac{1}{y'} = \frac{y''' y' - 3 (y'')^2}{(y')^5}. $$

因此： $$ \frac{\mathrm{d}^{3} x}{\mathrm{d} y^{3}} = - \frac{y''' y' - 3 (y'')^2}{(y')^5} = \frac{3 (y'')^2 - y' y'''}{(y')^5}. $$

（2）得证。

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**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基础反函数高阶导数推导，需要熟练运用链式法则与商的求导公式，但步骤清晰，计算量不大。）