同济高数 第2章 第2-3-9题
📝 题目
9．求下列函数所指定的阶的导数： （1）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ，求 $y^{(4)}$ ； （2）$y=x^{2} \sin 2 x$ ，求 $y^{(50)}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1）已知 $ y = e^{x} \cos x $，求 $ y^{(4)} $。
将函数视为指数函数与三角函数的乘积，可利用莱布尼茨公式或直接逐次求导。 先求一阶导数： $$ y' = e^{x} \cos x + e^{x}(-\sin x) = e^{x}(\cos x - \sin x) $$ 二阶导数： $$ y'' = e^{x}(\cos x - \sin x) + e^{x}(-\sin x - \cos x) = e^{x}(-2\sin x) $$ 三阶导数： $$ y''' = e^{x}(-2\sin x) + e^{x}(-2\cos x) = -2e^{x}(\sin x + \cos x) $$ 四阶导数： $$ y^{(4)} = -2e^{x}(\sin x + \cos x) - 2e^{x}(\cos x - \sin x) = -2e^{x}(2\cos x) = -4e^{x}\cos x $$ 因此 $$ \boxed{y^{(4)} = -4e^{x}\cos x} $$
（2）已知 $ y = x^{2} \sin 2x $，求 $ y^{(50)} $。
使用莱布尼茨公式： $$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} $$ 令 $ u = x^{2} $，$ v = \sin 2x $。 对于 $ u = x^{2} $，有 $$ u' = 2x,\quad u'' = 2,\quad u^{(k)} = 0 \ (k \ge 3) $$ 对于 $ v = \sin 2x $，其高阶导数为 $$ v^{(m)} = 2^{m} \sin\!\left(2x + \frac{m\pi}{2}\right) $$ 因此当 $ n = 50 $ 时，只有 $ k = 0,1,2 $ 项非零：
- $ k = 0 $： $$ \binom{50}{0} u v^{(50)} = 1 \cdot x^{2} \cdot 2^{50} \sin\!\left(2x + 25\pi\right) $$ 由于 $\sin(\theta + 25\pi) = \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$，此项为 $$ x^{2} \cdot 2^{50} \cdot (-\sin 2x) = -2^{50} x^{2} \sin 2x $$
- $ k = 1 $： $$ \binom{50}{1} u' v^{(49)} = 50 \cdot 2x \cdot 2^{49} \sin\!\left(2x + \frac{49\pi}{2}\right) $$ 注意 $\frac{49\pi}{2} = 24\pi + \frac{\pi}{2}$，所以 $$ \sin\!\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x $$ 此项为 $$ 50 \cdot 2x \cdot 2^{49} \cos 2x = 50x \cdot 2^{50} \cos 2x $$
- $ k = 2 $： $$ \binom{50}{2} u'' v^{(48)} = \frac{50 \cdot 49}{2} \cdot 2 \cdot 2^{48} \sin\!\left(2x + 24\pi\right) $$ $\sin(2x + 24\pi) = \sin 2x$，此项为 $$ 1225 \cdot 2 \cdot 2^{48} \sin 2x = 2450 \cdot 2^{48} \sin 2x $$ 而 $ 2450 \cdot 2^{48} = 1225 \cdot 2^{49} $。
合并三项： $$ y^{(50)} = -2^{50} x^{2} \sin 2x + 50x \cdot 2^{50} \cos 2x + 1225 \cdot 2^{49} \sin 2x $$ 可提取公因式 $ 2^{49} $： $$ \boxed{y^{(50)} = 2^{49}\left[ -2x^{2}\sin 2x + 100x\cos 2x + 1225\sin 2x \right]} $$
难度评级：★★★☆☆ （涉及莱布尼茨公式与三角函数高阶导数的周期性，计算量中等，但思路清晰。）