同济高数 第2章 第2-4-9题
📝 题目
9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^{2}}{2}, \\ y=1-t ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t, \\ y=b \sin t ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x=3 \mathrm{e}^{-t}, \\ y=2 \mathrm{e}^{t} ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}x=f^{\prime}(t), \\ y=t f^{\prime}(t)-f(t),\end{array}\right.$ 设 $f^{\prime \prime}(t)$ 存在且不为零．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们依次求解四个参数方程的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$。
**（1）** 参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{t^{2}}{2}, \\ y=1-t . \end{array}\right. $$
先求一阶导数： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}} = \frac{-1}{t} = -\frac{1}{t}. $$
再求二阶导数： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( -\frac{1}{t} \right)}{t} = \frac{\frac{1}{t^{2}}}{t} = \frac{1}{t^{3}}. $$
因此： $$ \boxed{\frac{1}{t^{3}}} $$
---
**（2）** 参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x = a \cos t, \\ y = b \sin t . \end{array}\right. $$
一阶导数： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{b \cos t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a} \cot t. $$
二阶导数： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( -\frac{b}{a} \cot t \right)}{-a \sin t} = \frac{-\frac{b}{a}(-\csc^{2} t)}{-a \sin t} = \frac{\frac{b}{a} \csc^{2} t}{-a \sin t} = -\frac{b}{a^{2}} \csc^{3} t. $$
因此： $$ \boxed{-\frac{b}{a^{2}} \csc^{3} t} $$
---
**（3）** 参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x = 3 \mathrm{e}^{-t}, \\ y = 2 \mathrm{e}^{t}. \end{array}\right. $$
一阶导数： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{2 \mathrm{e}^{t}}{-3 \mathrm{e}^{-t}} = -\frac{2}{3} \mathrm{e}^{2t}. $$
二阶导数： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( -\frac{2}{3} \mathrm{e}^{2t} \right)}{-3 \mathrm{e}^{-t}} = \frac{-\frac{4}{3} \mathrm{e}^{2t}}{-3 \mathrm{e}^{-t}} = \frac{4}{9} \mathrm{e}^{3t}. $$
因此： $$ \boxed{\frac{4}{9} \mathrm{e}^{3t}} $$
---
**（4）** 参数方程为： $$ \left\{\begin{array}{l} x = f'(t), \\ y = t f'(t) - f(t), \end{array}\right. $$ 且 $f''(t) \neq 0$。
一阶导数： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{f'(t) + t f''(t) - f'(t)}{f''(t)} = \frac{t f''(t)}{f''(t)} = t. $$
二阶导数： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(t)}{f''(t)} = \frac{1}{f''(t)}. $$
因此： $$ \boxed{\frac{1}{f''(t)}} $$
---
**难度评级**：★★☆☆☆ 整体计算步骤规范，仅需掌握参数方程求导公式，第（4）题稍需链式法则理解，但无复杂技巧。