同济高数 第2章 第2-5-1题

[AI解答]

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已知函数 $ y = x^3 - x $，在 $ x = 2 $ 处计算增量 $\Delta y$ 与微分 $\mathrm{d}y$。

首先，函数在任意点 $x$ 的微分为： $$ \mathrm{d}y = y'(x) \, \Delta x $$ 其中 $$ y'(x) = 3x^2 - 1 $$ 所以在 $x = 2$ 处： $$ y'(2) = 3 \cdot 2^2 - 1 = 12 - 1 = 11 $$ 因此 $$ \mathrm{d}y = 11 \, \Delta x $$

增量 $\Delta y$ 定义为： $$ \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $$ 在 $x = 2$ 处： $$ f(2) = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 $$ 所以 $$ \Delta y = (2 + \Delta x)^3 - (2 + \Delta x) - 6 $$

分别计算：

1. 当 $\Delta x = 1$ 时： $$ \Delta y = (3)^3 - 3 - 6 = 27 - 3 - 6 = 18 $$ $$ \mathrm{d}y = 11 \times 1 = 11 $$

2. 当 $\Delta x = 0.1$ 时： $$ \Delta y = (2.1)^3 - 2.1 - 6 $$ 计算 $(2.1)^3 = 9.261$，所以 $$ \Delta y = 9.261 - 2.1 - 6 = 1.161 $$ $$ \mathrm{d}y = 11 \times 0.1 = 1.1 $$

3. 当 $\Delta x = 0.01$ 时： $$ \Delta y = (2.01)^3 - 2.01 - 6 $$ 计算 $(2.01)^3 = 8.120601$，所以 $$ \Delta y = 8.120601 - 2.01 - 6 = 0.110601 $$ $$ \mathrm{d}y = 11 \times 0.01 = 0.11 $$

综上，结果如下表：

| $\Delta x$ | $\Delta y$ | $\mathrm{d}y$ | |-------------|-------------|----------------| | 1 | 18 | 11 | | 0.1 | 1.161 | 1.1 | | 0.01 | 0.110601 | 0.11 |

难度：★☆☆☆☆