同济高数 第3章 第3-1-12题
📝 题目
12．证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根，可以分两步进行： 第一步：证明存在正根； 第二步：证明正根的唯一性。
**第一步：存在性** 考虑函数 $$ f(x)=x^{5}+x-1, $$ 它在 $\mathbb{R}$ 上连续。计算 $$ f(0)=0^{5}+0-1=-1<0, $$ $$ f(1)=1^{5}+1-1=1>0. $$ 由连续函数的零点定理，存在 $c\in(0,1)$ 使得 $f(c)=0$，即方程至少有一个正根。
**第二步：唯一性** 计算导数： $$ f'(x)=5x^{4}+1. $$ 对于任意实数 $x$，有 $x^{4}\ge 0$，因此 $$ f'(x)=5x^{4}+1\ge 1>0, $$ 所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。 严格单调函数至多有一个零点，结合第一步已有一个正根，故该正根唯一。
综上，方程 $x^{5}+x-1=0$ 有且只有一个正根。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明存在正根
考虑函数 f(x)=x^5+x-1，它在 R 上连续。计算 f(0)=-1<0，f(1)=1>0。由连续函数的零点定理，存在 c∈(0,1) 使得 f(c)=0，即方程至少有一个正根。
公式：零点定理：若 f 在 [a,b] 连续且 f(a)f(b)<0，则存在 c∈(a,b) 使 f(c)=0。
提示：选择区间端点时，确保函数值异号。
步骤 2/2
目标：证明正根唯一
计算导数 f'(x)=5x^4+1。由于 x^4≥0，故 f'(x)≥1>0，所以 f(x) 在 R 上严格单调递增。严格单调函数至多有一个零点，结合第一步已有一个正根，故该正根唯一。
公式：f'(x)=5x^4+1>0
提示：利用导数判断单调性，单调函数最多一个零点。
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