同济高数 第3章 第3-2-2题
📝 题目
2．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们验证极限 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} $$ 存在，并说明为何不能直接用洛必达法则。
**第一步：直接计算极限** 将表达式改写为 $$ \frac{x + \sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x}. $$ 由于对任意实数 $x$ 有 $|\sin x| \le 1$，因此 $$ \left|\frac{\sin x}{x}\right| \le \frac{1}{x}. $$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，由夹逼定理得 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0. $$ 因此 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = 1 + 0 = 1. $$ 极限存在且等于 1。
**第二步：说明为何不能用洛必达法则** 洛必达法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，且要求分子分母分别求导后的极限存在（或为无穷大）。 本题当 $x \to \infty$ 时，分子 $x + \sin x \to \infty$，分母 $x \to \infty$，形式上属于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。 但若对分子分母分别求导，得 $$ \frac{(x + \sin x)'}{x'} = \frac{1 + \cos x}{1} = 1 + \cos x. $$ 而 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)}$ 不存在（因为 $\cos x$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡），不满足洛必达法则中“导数之比的极限存在”的条件，因此不能使用洛必达法则。
**结论**：极限存在且为 1，但不能用洛必达法则得出。
难度：★☆☆☆☆