同济高数 第3章 第3-3-6题
📝 题目
6．求函数 $f(x)=\tan x$ 的带有佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $ f(x) = \tan x $ 的带有佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式。 麦克劳林公式是泰勒公式在 $ x_0 = 0 $ 时的特例，其形式为：
$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + o(x^n) $$
这里 $ n = 3 $，因此我们需要计算 $ f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) $。
**第一步：计算各阶导数在 $ x=0 $ 处的值**
1. $ f(x) = \tan x $，则 $ f(0) = 0 $
2. 一阶导数： $$ f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $$ 所以 $ f'(0) = 1 $
3. 二阶导数： $$ f''(x) = \frac{d}{dx} (\sec^2 x) = 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 \sec^2 x \tan x $$ 代入 $ x=0 $，得 $ f''(0) = 0 $
4. 三阶导数： 对 $ f''(x) = 2 \sec^2 x \tan x $ 再求导，用乘积法则： $$ f'''(x) = 2 \left[ 2 \sec^2 x \tan x \cdot \tan x + \sec^2 x \cdot \sec^2 x \right] $$ 更清楚地： $$ f'''(x) = 2 \left( 2 \sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x \right) $$ 代入 $ x=0 $，$\tan 0 = 0$，$\sec 0 = 1$，得 $$ f'''(0) = 2 (0 + 1) = 2 $$
**第二步：代入麦克劳林公式**
$$ \tan x = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + o(x^3) $$
代入数值：
$$ \tan x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2} x^2 + \frac{2}{6} x^3 + o(x^3) $$
即：
$$ \boxed{\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)} $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （需要计算三角函数导数，但步骤直接，没有复杂技巧）