同济高数 第3章 第3-3-8题
📝 题目
8．验证当 $\displaystyle 0\lt x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，按公式 $\displaystyle \mathrm{e}^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ 计算 $\mathrm{e}^{x}$ 的近似值时，所产生的误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用带拉格朗日余项的泰勒展开。函数 $ e^x $ 在 $ x=0 $ 处的 3 阶泰勒展开为： $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{e^{\xi}}{4!} x^4, $$ 其中 $\xi$ 介于 0 与 $x$ 之间。
因此，近似公式 $$ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} $$ 的误差（余项）为 $$ R_3(x) = \frac{e^{\xi}}{24} x^4. $$
当 $0 < x \le \frac12$ 时，$\xi \le x \le \frac12$，因此 $e^{\xi} \le e^{1/2} < 2$（因为 $e<4$，所以 $\sqrt{e}<2$）。于是 $$ |R_3(x)| = \frac{e^{\xi}}{24} x^4 < \frac{2}{24} x^4 = \frac{x^4}{12}. $$ 在区间 $(0, \frac12]$ 上，$x^4$ 的最大值在 $x=\frac12$ 处取得： $$ \frac{(1/2)^4}{12} = \frac{1/16}{12} = \frac{1}{192} \approx 0.0052083 < 0.01. $$ 因此误差确实小于 0.01。
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接下来求 $\sqrt{e}$ 的近似值，即 $e^{1/2}$。取 $x = \frac12$，代入近似公式： $$ e^{1/2} \approx 1 + \frac12 + \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{(1/2)^3}{6}. $$ 逐项计算： $$ 1 + 0.5 = 1.5, $$ $$ \frac{(0.5)^2}{2} = \frac{0.25}{2} = 0.125, $$ $$ \frac{(0.5)^3}{6} = \frac{0.125}{6} \approx 0.0208333. $$ 相加得： $$ 1.5 + 0.125 = 1.625, $$ $$ 1.625 + 0.0208333 = 1.6458333. $$
由前面误差估计，此时误差小于 $\frac{1}{192} < 0.01$，因此满足精度要求。
所以 $\sqrt{e} \approx 1.646$（保留三位小数）。
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**难度评级**：★★☆☆☆