同济高数 第3章 第3-4-7题
📝 题目
7．单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面的例子：
$$ f(x)=x+\sin x $$
💡 答案解析
[AI解答]
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题目要求判断单调函数的导函数是否必为单调函数，并通过例子 $ f(x) = x + \sin x $ 进行研究。
首先，函数 $ f(x) = x + \sin x $ 的导数为： $$ f'(x) = 1 + \cos x. $$
由于 $\cos x \geq -1$，所以 $ f'(x) = 1 + \cos x \geq 0$，且只在 $ x = (2k+1)\pi $（$k \in \mathbb{Z}$）时等于 0，因此 $ f(x) $ 是单调递增函数（严格来说是不减函数，且在任意区间内不恒为常数，故为严格单调递增）。
现在考察其导函数 $ f'(x) = 1 + \cos x $ 的单调性。 $ f'(x) $ 的导数为： $$ f''(x) = -\sin x. $$ 由于 $\sin x$ 变号，因此 $ f''(x) $ 在实数轴上时正时负，说明 $ f'(x) $ 不是单调函数。例如： - 在区间 $ (0, \pi) $ 上，$\sin x > 0$，故 $ f''(x) < 0$，$ f'(x) $ 递减； - 在区间 $ (\pi, 2\pi) $ 上，$\sin x < 0$，故 $ f''(x) > 0$，$ f'(x) $ 递增。
因此，单调函数的导函数不一定单调。 这个反例表明：即使原函数单调，其导函数也可能振荡，不保持单调性。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求函数f(x)=x+sinx的导数
对f(x)=x+sinx求导，得到f'(x)=1+cosx。
公式：f'(x)=1+cosx
提示：基本求导公式：x的导数为1，sinx的导数为cosx。
步骤 2/5
目标：判断原函数的单调性
由于cosx≥-1，所以f'(x)=1+cosx≥0，且只在x=(2k+1)π时等于0，因此f(x)是单调递增函数。
公式：f'(x)≥0
提示：导数非负且不恒为零时，函数单调递增。
步骤 3/5
目标：求导函数的导数
对f'(x)=1+cosx求导，得到f''(x)=-sinx。
公式：f''(x)=-sinx
提示：cosx的导数为-sinx。
步骤 4/5
目标：分析导函数的单调性
由于f''(x)=-sinx在实数轴上变号，例如在(0,π)上f''(x)<0，f'(x)递减；在(π,2π)上f''(x)>0，f'(x)递增，因此f'(x)不是单调函数。
提示：二阶导数符号决定一阶导数的单调性。
步骤 5/5
目标：得出结论
单调函数的导函数不一定单调，反例：f(x)=x+sinx是单调递增函数，但其导函数f'(x)=1+cosx不是单调函数。
提示：注意区分原函数与导函数的单调性。
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