同济高数 第3章 第3-4-9题
📝 题目
9．判定下列曲线的凹凸性： （1）$y=4 x-x^{2}$ ； （2）$y=\operatorname{sh} x$ ； （3）$\displaystyle y=x+\frac{1}{x}(x\gt 0)$ ； （4）$y=x \arctan x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 判定曲线的凹凸性，通常通过计算二阶导数并分析其符号：若 $f''(x) > 0$，则曲线在该区间内是凹的（下凸）；若 $f''(x) < 0$，则曲线是凸的（上凸）。
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### （1）$y = 4x - x^2$
一阶导数： $$y' = 4 - 2x$$ 二阶导数： $$y'' = -2$$ 由于 $y'' = -2 < 0$ 恒成立，故曲线在 $\mathbb{R}$ 上是凸的（上凸）。
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### （2）$y = \operatorname{sh} x$
一阶导数： $$y' = \operatorname{ch} x$$ 二阶导数： $$y'' = \operatorname{sh} x$$ $\operatorname{sh} x$ 的符号： - 当 $x > 0$ 时，$y'' > 0$，曲线凹（下凸）； - 当 $x < 0$ 时，$y'' < 0$，曲线凸（上凸）； - 在 $x=0$ 处为拐点。
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### （3）$\displaystyle y = x + \frac{1}{x},\quad x > 0$
一阶导数： $$y' = 1 - \frac{1}{x^2}$$ 二阶导数： $$y'' = \frac{2}{x^3}$$ 由于 $x > 0$，故 $\displaystyle y'' = \frac{2}{x^3} > 0$，曲线在 $(0, +\infty)$ 上是凹的（下凸）。
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### （4）$y = x \arctan x$
一阶导数： $$y' = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}$$ 二阶导数： $$y'' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2}$$ 化简第二项： $$\frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}$$ 所以 $$y'' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 + 1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2} > 0$$ 因此 $y'' > 0$ 对所有 $x$ 成立，曲线在 $\mathbb{R}$ 上是凹的（下凸）。
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**难度评级**：★☆☆☆☆ （只需计算二阶导数并判断符号，属基础题）