同济高数 第3章 第3-4-*16题
📝 题目
＊16．设 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内具有三阶连续导数，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，而 $f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，试问 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是不是拐点？为什么？
💡 答案解析
[AI解答]
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**解**： 由题意，函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内具有三阶连续导数，且满足 $$ f''(x_0)=0,\quad f'''(x_0)\neq 0. $$ 我们考察点 $(x_0, f(x_0))$ 是否为拐点。拐点的定义是函数在该点两侧凹凸性发生改变的点，即二阶导数在该点左右变号。
由于 $f'''(x_0)\neq 0$，不妨设 $f'''(x_0)>0$（若小于0，同理可证）。由三阶导数的连续性，存在 $x_0$ 的一个邻域，在该邻域内 $f'''(x)>0$。于是，在该邻域内，$f''(x)$ 是严格单调递增的。
又因为 $f''(x_0)=0$，所以： - 当 $x < x_0$ 且 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，有 $f''(x) < 0$，此时函数 $f(x)$ 是凸的（上凸）； - 当 $x > x_0$ 且 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，有 $f''(x) > 0$，此时函数 $f(x)$ 是凹的（下凸）。
因此，在 $x=x_0$ 两侧，函数的凹凸性发生了改变，故点 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点。
**结论**：$(x_0, f(x_0))$ 是拐点。 理由：由于 $f'''(x_0)\neq 0$，且 $f''(x_0)=0$，由三阶导数的连续性可知 $f''(x)$ 在 $x_0$ 处严格单调，从而在 $x_0$ 左右变号，满足拐点的充分条件。
难度：★★☆☆☆