同济高数 第3章 第3-5-16题

[AI解答]

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**问题分析** 我们需要判断：在吊车臂长15m、车身高度1.5m的条件下，能否将宽6m、高2m的屋架水平吊到6m高的柱顶。 核心在于：当屋架水平吊起时，其底部必须高于柱顶，同时屋架不能与吊臂或车身发生干涉。通常这类问题转化为几何模型：吊臂端点（滑轮处）到屋架边缘的连线是否与地面有足够净空。

**建立几何模型** 设吊臂与水平面夹角为 $\theta$，吊臂长度 $L = 15$ m，车身高度 $h_0 = 1.5$ m。 吊臂端点（吊钩点）离地高度为 $$ H(\theta) = h_0 + L \sin\theta $$ 屋架宽 $w = 6$ m，高 $h_f = 2$ m。屋架水平吊起时，其最外缘距离吊钩的水平距离至少为屋架半宽，即 $d = \frac{w}{2} = 3$ m。 屋架底部离地高度为吊钩高度减去屋架高度的一半？这里需注意：屋架是水平吊起，吊钩一般挂在屋架顶部中心，因此屋架底部离地高度为 $$ H_{\text{底}} = H(\theta) - \frac{h_f}{2} = h_0 + L\sin\theta - 1 $$ 但还需考虑屋架边缘是否会碰到吊臂。吊臂从车身顶部伸出，车身顶部高度为1.5m，吊臂根部在车身上。屋架边缘到吊臂的最近距离需大于0。

更精确的约束：屋架在上升过程中，其最左侧（或最右侧）不能碰到吊臂。设吊臂与水平夹角 $\theta$，吊臂直线方程为（以车身顶部为原点，水平向右为x轴正向）： $$ y = x \tan\theta, \quad x \ge 0 $$ 屋架水平放置，其中心在吊钩正下方，吊钩坐标为 $(L\cos\theta, L\sin\theta)$（相对车身顶部）。屋架左边缘坐标为 $$ x_{\text{左}} = L\cos\theta - 3, \quad y_{\text{左}} = L\sin\theta - 1 $$ （因为屋架高2m，吊钩在顶部中心，所以屋架底部比吊钩低1m）。 屋架左边缘到吊臂的垂直距离必须大于0，即该点位于吊臂上方（因为吊臂是斜向上的，屋架在吊臂右侧时，左边缘可能在吊臂左侧？需要具体分析）。

实际上，屋架在吊臂右侧（吊钩在臂端），屋架左边缘最可能碰到吊臂。要求左边缘在吊臂之上： $$ y_{\text{左}} \ge x_{\text{左}} \tan\theta $$ 代入： $$ L\sin\theta - 1 \ge (L\cos\theta - 3)\tan\theta = L\sin\theta - 3\tan\theta $$ 化简得： $$ -1 \ge -3\tan\theta \quad\Rightarrow\quad 3\tan\theta \ge 1 \quad\Rightarrow\quad \tan\theta \ge \frac{1}{3} $$ 即 $\theta \ge \arctan(1/3) \approx 18.4349^\circ$。这个条件容易满足。

**主要约束：屋架底部要高于柱顶** 柱高6m，屋架底部高度需大于6m： $$ h_0 + L\sin\theta - 1 > 6 $$ 即 $$ 1.5 + 15\sin\theta - 1 > 6 \quad\Rightarrow\quad 15\sin\theta > 5.5 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta > \frac{5.5}{15} = \frac{11}{30} \approx 0.3667 $$ 所以 $\theta > \arcsin(0.3667) \approx 21.5^\circ$。

**还需考虑屋架宽度是否超出吊臂水平投影** 当 $\theta$ 较小时，吊臂水平投影长，屋架可能碰到车身或地面？但这里主要高度约束已给出最小角度。另外，当 $\theta$ 太大时，吊钩高度足够，但屋架可能碰到吊臂根部？检查最大角度：$\theta$ 最大接近90°，此时吊钩高度约16.5m，屋架底部高15.5m，远高于6m，但屋架左边缘坐标： $$ x_{\text{左}} = 15\cos\theta - 3 $$ 当 $\theta$ 很大时，$\cos\theta$ 很小，$x_{\text{左}}$ 可能为负，即屋架左边缘跑到吊臂根部左侧，此时不会碰吊臂（因为吊臂在右侧）。所以大角度下安全。

**结论** 只要 $\theta > \arcsin(11/30) \approx 21.5^\circ$，屋架底部就能高于6m柱顶。而吊臂角度可调，因此可以吊上去。

**最终答案** 可以吊得上去。

难度评级：★★☆☆☆