同济高数 第3章 第3-5-17题

[AI解答]

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设房租每月为 $x$ 元，则相对于 4000 元，增加的金额为 $x - 4000$ 元。 每增加 200 元就会多一套租不出去，因此租不出去的套数为：

$$ \frac{x - 4000}{200} $$

所以租出去的公寓套数为：

$$ 50 - \frac{x - 4000}{200} $$

每套租出去的公寓每月需维修费 400 元，因此每套实际收入为 $x - 400$ 元。 总收入函数为：

$$ R(x) = (x - 400) \left( 50 - \frac{x - 4000}{200} \right) $$

化简：

$$ R(x) = (x - 400) \left( 50 - \frac{x}{200} + 20 \right) = (x - 400) \left( 70 - \frac{x}{200} \right) $$

展开：

$$ R(x) = 70x - \frac{x^2}{200} - 28000 + \frac{400x}{200} = 70x - \frac{x^2}{200} - 28000 + 2x $$

$$ R(x) = 72x - \frac{x^2}{200} - 28000 $$

这是一个开口向下的二次函数，最大值在导数等于零处取得：

$$ R'(x) = 72 - \frac{x}{100} = 0 $$

解得：

$$ \frac{x}{100} = 72 \quad \Rightarrow \quad x = 7200 $$

因此，房租定为 **7200 元** 时，可获得最大收入。

此时租出套数为：

$$ 50 - \frac{7200 - 4000}{200} = 50 - 16 = 34 \text{ 套} $$

最大收入为：

$$ R(7200) = (7200 - 400) \times 34 = 6800 \times 34 = 231200 \text{ 元} $$

难度：★★☆☆☆