同济高数 第3章 第3-5-2题
📝 题目
2．试证明：如果函数 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 满足条件 $b^{2}-3 a c\lt 0$ ，那么这个函数没有极值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑函数 $$ y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, $$ 其中 $a \neq 0$（否则退化为二次函数，条件 $b^2 - 3ac < 0$ 无意义）。
**第一步：求导数** $$ y' = 3a x^{2} + 2b x + c. $$
**第二步：分析极值存在的必要条件** 极值点必是驻点，即满足 $y' = 0$。因此我们考虑二次方程 $$ 3a x^{2} + 2b x + c = 0. $$ 其判别式为 $$ \Delta = (2b)^{2} - 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^{2} - 12ac = 4(b^{2} - 3ac). $$
**第三步：利用已知条件** 已知 $b^{2} - 3ac < 0$，因此 $$ \Delta = 4(b^{2} - 3ac) < 0. $$ 判别式小于零，说明二次方程无实根，即 $y'$ 恒正或恒负（取决于 $a$ 的符号）。
**第四步：判断单调性** 由于 $y'$ 是二次函数且无实根，其符号与首项系数 $3a$ 相同： - 若 $a > 0$，则 $y' > 0$ 恒成立，函数严格单调递增； - 若 $a < 0$，则 $y' < 0$ 恒成立，函数严格单调递减。
**第五步：结论** 函数在整个实数域上严格单调，因此不存在局部极大值或极小值。
因此，当 $b^{2} - 3ac < 0$ 时，三次函数 $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 没有极值。
难度：★★☆☆☆