同济高数 第3章 第3-6-5题
📝 题目
5．$\displaystyle y=\frac{\cos x}{\cos 2 x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $ y = \frac{\cos x}{\cos 2x} $ 的导数。
**步骤1：识别函数结构** 该函数是分式形式，分子为 $\cos x$，分母为 $\cos 2x$，因此我们使用商的求导法则：
$$ y' = \frac{(\cos x)' \cdot \cos 2x - \cos x \cdot (\cos 2x)'}{(\cos 2x)^2} $$
**步骤2：分别求导** - 分子导数：$(\cos x)' = -\sin x$ - 分母导数：$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$
**步骤3：代入公式** $$ y' = \frac{(-\sin x) \cdot \cos 2x - \cos x \cdot (-2\sin 2x)}{\cos^2 2x} $$
化简分子中的符号： $$ y' = \frac{-\sin x \cos 2x + 2\cos x \sin 2x}{\cos^2 2x} $$
**步骤4：利用三角恒等式化简** 我们知道 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，代入分子第二项： $$ 2\cos x \sin 2x = 2\cos x \cdot (2\sin x \cos x) = 4\sin x \cos^2 x $$
但更简洁的方法是使用和角公式： 注意到 $$ 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x $$ 可以写成 $\sin(2x - x)$ 的形式吗？ 实际上，$\sin(2x - x) = \sin x$，但这里系数不同。我们尝试直接使用恒等式： $$ \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x = \sin(2x - x) = \sin x $$ 因此 $$ 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x = \sin x + \cos x \sin 2x $$ 这样并不简化。我们换一种方式： 将分子写成： $$ -\sin x \cos 2x + 2\cos x \sin 2x $$ 提取 $\sin x$？或者直接用公式： $$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $$ 代入得： $$ -\sin x \cos 2x + 2\cos x \cdot (2\sin x \cos x) = -\sin x \cos 2x + 4\sin x \cos^2 x $$ 提取 $\sin x$： $$ = \sin x (4\cos^2 x - \cos 2x) $$ 又因为 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，所以： $$ 4\cos^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x + 1 $$ 因此分子为： $$ \sin x (2\cos^2 x + 1) $$
**步骤5：写出最终导数** $$ y' = \frac{\sin x (2\cos^2 x + 1)}{\cos^2 2x} $$
也可以利用 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ 将分母表达为 $\cos^2 2x$，但通常保留原样即可。
因此最终结果为： $$ \boxed{y' = \frac{\sin x (2\cos^2 x + 1)}{\cos^2 2x}} $$
难度：★★☆☆☆ （涉及商的求导法则与三角恒等变形，计算稍需细心，但无复杂技巧。）