同济高数 第3章 第3-7-4题

[AI解答]

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已知曲线的参数方程为： $$ x = a \cos^3 t, \quad y = a \sin^3 t $$ 我们需要求在 $ t = t_0 $ 处的曲率。

**第一步：求一阶导数**

$$ x'(t) = a \cdot 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t $$ $$ y'(t) = a \cdot 3 \sin^2 t \cdot \cos t = 3a \sin^2 t \cos t $$

**第二步：求二阶导数**

$$ x''(t) = -3a \left[ 2\cos t (-\sin t) \sin t + \cos^2 t \cos t \right] $$ 更规范地计算： $$ x'(t) = -3a \cos^2 t \sin t $$ 求导： $$ x''(t) = -3a \left[ 2\cos t (-\sin t) \sin t + \cos^2 t \cos t \right] = -3a \left[ -2\cos t \sin^2 t + \cos^3 t \right] $$ 即 $$ x''(t) = -3a (\cos^3 t - 2\cos t \sin^2 t) $$

对于 $y'(t) = 3a \sin^2 t \cos t$，求导： $$ y''(t) = 3a \left[ 2\sin t \cos t \cdot \cos t + \sin^2 t (-\sin t) \right] = 3a \left[ 2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t \right] $$

**第三步：曲率公式**

对于参数方程，曲率公式为： $$ \kappa = \frac{|x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)|}{\left[ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right]^{3/2}} $$

先计算分子： $$ x'(t) y''(t) = (-3a \cos^2 t \sin t) \cdot 3a (2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t) $$ $$ = -9a^2 \cos^2 t \sin t (2\sin t \cos^2 t - \sin^3 t) $$ $$ = -9a^2 \cos^2 t \sin t \cdot \sin t (2\cos^2 t - \sin^2 t) $$ $$ = -9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (2\cos^2 t - \sin^2 t) $$

再计算： $$ x''(t) y'(t) = (-3a (\cos^3 t - 2\cos t \sin^2 t)) \cdot (3a \sin^2 t \cos t) $$ $$ = -9a^2 \sin^2 t \cos t (\cos^3 t - 2\cos t \sin^2 t) $$ $$ = -9a^2 \sin^2 t \cos t \cdot \cos t (\cos^2 t - 2\sin^2 t) $$ $$ = -9a^2 \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t - 2\sin^2 t) $$

于是分子差为： $$ x' y'' - x'' y' = -9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (2\cos^2 t - \sin^2 t) + 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t - 2\sin^2 t) $$ 提取公因式： $$ = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \left[ - (2\cos^2 t - \sin^2 t) + (\cos^2 t - 2\sin^2 t) \right] $$ 括号内化简： $$ -2\cos^2 t + \sin^2 t + \cos^2 t - 2\sin^2 t = -\cos^2 t - \sin^2 t = -1 $$ 因此： $$ x' y'' - x'' y' = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \cdot (-1) = -9a^2 \cos^2 t \sin^2 t $$ 取绝对值： $$ | x' y'' - x'' y' | = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t $$

**第四步：计算分母**

$$ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t $$ $$ = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t $$

因此分母为： $$ \left[ 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \right]^{3/2} = (9a^2)^{3/2} |\cos t \sin t|^3 = 27 |a|^3 |\cos t \sin t|^3 $$

**第五步：曲率表达式**

$$ \kappa(t) = \frac{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t}{27 |a|^3 |\cos t \sin t|^3} = \frac{1}{3|a|} \cdot \frac{1}{|\cos t \sin t|} $$

注意 $\cos t \sin t = \frac{1}{2} \sin 2t$，因此： $$ \kappa(t) = \frac{1}{3|a|} \cdot \frac{2}{|\sin 2t|} = \frac{2}{3|a| |\sin 2t|} $$

在 $t = t_0$ 处的曲率为： $$ \boxed{\kappa(t_0) = \frac{2}{3|a| |\sin 2t_0|}} $$

**难度评级**：★★★☆☆ （需要熟练运用参数方程曲率公式及三角恒等变形，计算稍复杂，但思路清晰）