同济高数 第3章 第3-7-5题
📝 题目
5．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求对数曲线 $y = \ln x$ 上曲率半径最小的点，并求出该曲率半径。 曲线方程：$y = \ln x$，定义域 $x > 0$。
**第一步：曲率公式** 曲率公式为： $$ K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} $$ 曲率半径： $$ R = \frac{1}{K} = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|} $$
**第二步：求导** $$ y' = \frac{1}{x}, \quad y'' = -\frac{1}{x^2} $$ 由于 $x>0$，$|y''| = \frac{1}{x^2}$。
**第三步：代入曲率半径公式** $$ R(x) = \frac{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2}}{\frac{1}{x^2}} = x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{3/2} = x^2 \left(\frac{x^2 + 1}{x^2}\right)^{3/2} = x^2 \cdot \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x^3} = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x} $$
**第四步：求 $R(x)$ 的最小值** 令 $f(x) = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{x}$，定义域 $x>0$。 取对数求导更方便，令： $$ \ln f = \frac{3}{2} \ln(x^2+1) - \ln x $$ 对 $x$ 求导： $$ \frac{f'}{f} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x} = \frac{3x}{x^2+1} - \frac{1}{x} $$ 令 $f'(x)=0$： $$ \frac{3x}{x^2+1} = \frac{1}{x} $$ 两边乘以 $x(x^2+1)$： $$ 3x^2 = x^2 + 1 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{1}{2} $$ 因为 $x>0$，得： $$ x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$
**第五步：判断极值类型** 当 $x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，例如 $x=0.5$， $\frac{3x}{x^2+1} \approx \frac{1.5}{1.25}=1.2$，$\frac{1}{x}=2$，导数为负； 当 $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，例如 $x=1$， $\frac{3}{2}=1.5$，$\frac{1}{1}=1$，导数为正。 因此 $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 为极小值点。
**第六步：求该点坐标与曲率半径** 该点横坐标 $x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$，纵坐标： $$ y_0 = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2}\ln 2 $$ 曲率半径： $$ R_{\min} = \frac{\left( \frac{1}{2} + 1 \right)^{3/2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^{3/2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3^{3/2}}{2^{3/2}} \cdot 2^{1/2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$
**最终答案**： 点 $\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\; -\frac{1}{2}\ln 2\right)$ 处曲率半径最小，最小曲率半径为 $\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
难度：★★☆☆☆