同济高数 第3章 第3-8-3题

教材习题

📝 题目

3．用割线法求方程 $x^{3}+3 x-1=0$ 的近似根，使误差不超过 0.01 ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们使用**割线法**（Secant Method）求解方程 $$ f(x)=x^{3}+3x-1=0 $$ 的近似根，要求误差不超过 $0.01$。

**第一步：确定初始近似值** 先观察函数值符号： $$ f(0) = -1 < 0, \quad f(1) = 1+3-1 = 3 > 0 $$ 因此在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根。取初始近似值 $$ x_0 = 0,\quad x_1 = 1 $$

**第二步：割线法迭代公式** 割线法公式为 $$ x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} $$

**第三步：逐次迭代**

- 第1次迭代： $$ f(x_0)=f(0)=-1,\quad f(x_1)=f(1)=3 $$ $$ x_2 = 1 - 3\cdot\frac{1-0}{3-(-1)} = 1 - 3\cdot\frac{1}{4} = 1 - 0.75 = 0.25 $$ 误差估计：$|x_2-x_1| = 0.75 > 0.01$，继续。

- 第2次迭代： $$ f(x_1)=3,\quad f(x_2)=f(0.25)=0.25^3+0.75-1 = 0.015625+0.75-1 = -0.234375 $$ $$ x_3 = 0.25 - (-0.234375)\cdot\frac{0.25-1}{-0.234375-3} $$ 先算分母：$-0.234375-3 = -3.234375$ 分子差：$0.25-1 = -0.75$ 因此 $$ x_3 = 0.25 - (-0.234375)\cdot\frac{-0.75}{-3.234375} = 0.25 - (-0.234375)\cdot 0.231884... $$ 计算乘积：$0.234375 \times 0.231884 \approx 0.054347$ 所以 $$ x_3 \approx 0.25 + 0.054347 = 0.304347 $$ 误差：$|x_3-x_2| \approx 0.0543 > 0.01$，继续。

- 第3次迭代： $$ f(x_2) = -0.234375,\quad f(x_3) = 0.304347^3 + 3\times 0.304347 - 1 $$ 先算 $0.304347^2 \approx 0.092627$，再乘 $0.304347$ 得 $0.028191$ 加上 $3\times 0.304347 = 0.913041$，总和为 $0.028191+0.913041-1 = -0.058768$ $$ x_4 = 0.304347 - (-0.058768)\cdot\frac{0.304347-0.25}{-0.058768 - (-0.234375)} $$ 分子差：$0.304347-0.25 = 0.054347$ 分母差：$-0.058768+0.234375 = 0.175607$ 比值：$\frac{0.054347}{0.175607} \approx 0.3095$ 因此 $$ x_4 \approx 0.304347 + 0.058768\times 0.3095 \approx 0.304347 + 0.018188 \approx 0.322535 $$ 误差：$|x_4-x_3| \approx 0.0182 > 0.01$，继续。

- 第4次迭代： $$ f(x_3) \approx -0.058768,\quad f(x_4)=0.322535^3+3\times 0.322535-1 $$ 先算 $0.322535^2 \approx 0.104029$，再乘 $0.322535$ 得 $0.033553$ 加上 $0.967605$ 得 $1.001158$，减1得 $0.001158$ $$ x_5 = 0.322535 - 0.001158\cdot\frac{0.322535-0.304347}{0.001158 - (-0.058768)} $$ 分子差：$0.018188$ 分母差：$0.059926$ 比值：$\frac{0.018188}{0.059926} \approx 0.3035$ 因此 $$ x_5 \approx 0.322535 - 0.001158\times 0.3035 \approx 0.322535 - 0.000351 \approx 0.322184 $$ 误差：$|x_5-x_4| \approx 0.00035 < 0.01$，满足精度。

**第四步：结果** 满足误差不超过 0.01 的近似根为 $$ \boxed{0.322} $$ （四舍五入到小数点后三位）

难度评级：★★☆☆☆ （涉及割线法迭代公式与简单数值计算，步骤固定，计算量适中）

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：确定初始近似值
观察函数 f(x)=x^3+3x-1 在 x=0 和 x=1 处的符号：f(0)=-1<0，f(1)=3>0，因此在区间 (0,1) 内至少有一个根。取初始近似值 x0=0，x1=1。
提示：选择初始值时，应确保函数值异号，以保证根的存在。
步骤 2/7
目标：应用割线法迭代公式
割线法迭代公式为 x_{n+1} = x_n - f(x_n) * (x_n - x_{n-1}) / (f(x_n) - f(x_{n-1}))。
公式：x_{n+1} = x_n - f(x_n) * (x_n - x_{n-1}) / (f(x_n) - f(x_{n-1}))
提示：注意分母不能为零，否则需更换初始值。
步骤 3/7
目标：第1次迭代
计算 f(x0)=f(0)=-1，f(x1)=f(1)=3。代入公式得 x2 = 1 - 3 * (1-0)/(3-(-1)) = 1 - 3/4 = 0.25。误差 |x2-x1|=0.75>0.01，继续。
提示：迭代过程中需记录每次的近似值，用于下一次计算。
步骤 4/7
目标：第2次迭代
计算 f(x1)=3，f(x2)=f(0.25)=0.25^3+0.75-1=-0.234375。代入公式得 x3 = 0.25 - (-0.234375)*(0.25-1)/(-0.234375-3) ≈ 0.304347。误差 |x3-x2|≈0.0543>0.01，继续。
提示：计算时注意小数精度，避免累积误差。
步骤 5/7
目标：第3次迭代
计算 f(x2)=-0.234375，f(x3)=0.304347^3+3*0.304347-1≈-0.058768。代入公式得 x4 = 0.304347 - (-0.058768)*(0.304347-0.25)/(-0.058768+0.234375) ≈ 0.322535。误差 |x4-x3|≈0.0182>0.01，继续。
步骤 6/7
目标：第4次迭代
计算 f(x3)≈-0.058768，f(x4)=0.322535^3+3*0.322535-1≈0.001158。代入公式得 x5 = 0.322535 - 0.001158*(0.322535-0.304347)/(0.001158+0.058768) ≈ 0.322184。误差 |x5-x4|≈0.00035<0.01，满足精度。
提示：当相邻两次迭代值的差小于误差限时，停止迭代。
步骤 7/7
目标：输出结果
满足误差不超过0.01的近似根为 x≈0.322（四舍五入到小数点后三位）。
提示：最终结果可根据精度要求进行四舍五入。

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