同济高数 第4章 第4-1-4题
📝 题目
4．汽车以 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度沿直线行驶，刹车后匀减速行驶了 50 m 停住，求刹车加速度．可执行下列步骤： （1）求微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}=-k$ 满足条件 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=20$ 及 $\left.s\right|_{t=0}=0$ 的解； （2）求使 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=0$ 的 $t$ 值及相应的 $s$ 值； （3）求使 $s=50$ 的 $k$ 值．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）求微分方程的解**
已知微分方程为： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}} = -k $$ 其中 $k>0$ 为待定常数。
先对时间积分一次，得到速度： $$ \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t} = \int (-k) \, \mathrm{d}t = -k t + C_1 $$ 利用初始条件 $\left.\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=20$，代入得： $$ 20 = -k \cdot 0 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 20 $$ 所以： $$ \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t} = -k t + 20 $$
再积分一次得到位移： $$ s(t) = \int (-k t + 20) \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} k t^{2} + 20 t + C_2 $$ 利用初始条件 $\left.s\right|_{t=0}=0$，得： $$ 0 = C_2 $$ 因此： $$ s(t) = -\frac{1}{2} k t^{2} + 20 t $$
**（2）求速度为零的时刻及对应位移**
令 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=0$： $$ - k t + 20 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{20}{k} $$ 代入位移公式： $$ s\left(\frac{20}{k}\right) = -\frac{1}{2} k \left(\frac{20}{k}\right)^2 + 20 \cdot \frac{20}{k} = -\frac{1}{2} k \cdot \frac{400}{k^2} + \frac{400}{k} = -\frac{200}{k} + \frac{400}{k} = \frac{200}{k} $$ 因此停车时的位移为 $\displaystyle \frac{200}{k}$ 米。
**（3）由已知位移求 $k$**
已知刹车距离为 50 m，即： $$ \frac{200}{k} = 50 $$ 解得： $$ k = \frac{200}{50} = 4 $$ 因此刹车加速度大小为 $4\ \mathrm{m/s^2}$，方向与运动方向相反。
最终答案：刹车加速度为 $a = -4\ \mathrm{m/s^2}$。
难度：★★☆☆☆