同济高数 第4章 第4-3-3题

教材习题

📝 题目

3． $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 本题要求计算不定积分： $$ \int \arcsin x \, \mathrm{d}x $$ 我们采用分部积分法。设 $$ u = \arcsin x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x, \quad v = x $$ 由分部积分公式 $$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$ 得到 $$ \int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x $$ 接下来计算 $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x $$ 令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ \mathrm{d}t = -2x \, \mathrm{d}x $，即 $ x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \mathrm{d}t $，于是 $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, \mathrm{d}t $$ $$ = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C $$ 代回原式： $$ \int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \left( -\sqrt{1-x^2} \right) + C = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$ 因此结果为 $$ \boxed{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：选择分部积分法
设 u = arcsin x, dv = dx，则 du = 1/√(1-x^2) dx, v = x。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分法适用于被积函数为反三角函数与幂函数的乘积。
步骤 2/4
目标：应用分部积分公式
∫ arcsin x dx = x arcsin x - ∫ x/√(1-x^2) dx。
提示：注意符号，不要遗漏负号。
步骤 3/4
目标：计算 ∫ x/√(1-x^2) dx
令 t = 1 - x^2，则 dt = -2x dx，即 x dx = -1/2 dt。代入得 ∫ x/√(1-x^2) dx = ∫ 1/√t * (-1/2) dt = -1/2 ∫ t^{-1/2} dt = -1/2 * 2 t^{1/2} + C = -√(1-x^2) + C。
公式：∫ t^α dt = t^(α+1)/(α+1) + C (α ≠ -1)
提示：换元后注意积分变量替换，并回代。
步骤 4/4
目标：代回原式得到最终结果
∫ arcsin x dx = x arcsin x - (-√(1-x^2)) + C = x arcsin x + √(1-x^2) + C。
提示：不要忘记积分常数 C。

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